Estudio de funciones: asíntotas, integración por partes y extremos

**a) (1 punto) Determine el valor de $k$ para que la función $f(x)$ tenga como asíntota oblicua, cuando $x \to +\infty$, la recta $y = 2x - 1$.** Una función racional $f(x)$ tiene una asíntota oblicua $y = mx + n$ si los límites existen y son finitos. 1. Hallamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 + kx^2 + x + 3}{x(x^2 + 2)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 + kx^2 + x + 3}{x^3 + 2x}$$ Como los grados del numerador y denominador son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$m = \frac{2}{1} = 2$$ Esto coincide con la pendiente de la recta dada $y = 2x - 1$. 2. Hallamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x^3 + kx^2 + x + 3}{x^2 + 2} - 2x \right)$$ Operamos para simplificar la expresión: $$n = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 + kx^2 + x + 3 - 2x(x^2 + 2)}{x^2 + 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 + kx^2 + x + 3 - 2x^3 - 4x}{x^2 + 2}$$ $$n = \lim_{x \to +\infty} \frac{kx^2 - 3x + 3}{x^2 + 2} = k$$ Para que la asíntota sea $y = 2x - 1$, debe cumplirse que $n = -1$. Por tanto: $$k = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador, existe asíntota oblicua. También podrías obtenerla realizando la división polinómica. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = -1}$$

**b) (1,5 puntos) Determine $\int x(\ln(x))^2 dx$.** Resolvemos mediante el método de **integración por partes**: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Elegimos: $u = (\ln(x))^2 \implies du = 2\ln(x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$ $dv = x \, dx \implies v = \frac{x^2}{2}$ Aplicamos la fórmula: $$I = \int x(\ln(x))^2 dx = \frac{x^2}{2}(\ln(x))^2 - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{2\ln(x)}{x} \, dx = \frac{x^2}{2}(\ln(x))^2 - \int x\ln(x) \, dx$$ Ahora aplicamos integración por partes de nuevo para resolver $\int x\ln(x) \, dx$: $u_1 = \ln(x) \implies du_1 = \frac{1}{x} \, dx$ $dv_1 = x \, dx \implies v_1 = \frac{x^2}{2}$ $$\int x\ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4}$$ Sustituimos el resultado en la integral original: $$I = \frac{x^2}{2}(\ln(x))^2 - \left( \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4} \right) + C$$ $$I = \frac{x^2}{2}(\ln(x))^2 - \frac{x^2}{2}\ln(x) + \frac{x^2}{4} + C$$ 💡 **Tip:** Al integrar por partes funciones con logaritmos y polinomios (ALPES), el logaritmo suele ser $u$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int x(\ln(x))^2 dx = \frac{x^2}{2} \left( (\ln(x))^2 - \ln(x) + \frac{1}{2} \right) + C}$$

**c) (1,5 puntos) Determine, si existen, los máximos, mínimos relativos y puntos de inflexión de la función $f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x)$.** Primero, determinamos el dominio. Dado que hay una fracción y un logaritmo, el denominador no puede ser cero ($x \neq 0$) y el argumento del logaritmo debe ser positivo ($x \gt 0$). Dominio: $D_f = (0, +\infty)$. Calculamos la primera derivada para hallar los extremos: $$f(x) = x^{-1} + \ln(x) \implies f'(x) = -x^{-2} + \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x^2}$$ Buscamos los puntos críticos: $f'(x) = 0 \iff x - 1 = 0 \iff x = 1$. Analizamos el signo de $f'(x)$ en el dominio: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 1) & 1 & (1, +\infty)\\\hline f'(x) & - & 0 & +\\ \text{Comportamiento} & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ En $x = 1$ hay un **mínimo relativo**. Coordenada $y$: $f(1) = \frac{1}{1} + \ln(1) = 1 + 0 = 1$. ✅ **Resultado (Mínimo):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (1, 1)}$$

Para hallar los puntos de inflexión, calculamos la segunda derivada: $$f'(x) = -x^{-2} + x^{-1} \implies f''(x) = 2x^{-3} - x^{-2} = \frac{2}{x^3} - \frac{1}{x^2} = \frac{2 - x}{x^3}$$ Buscamos candidatos a puntos de inflexión: $f''(x) = 0 \iff 2 - x = 0 \iff x = 2$. Analizamos el signo de $f''(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 2) & 2 & (2, +\infty)\\\hline f''(x) & + & 0 & -\\ \text{Curvatura} & \cup \text{ (convexa)} & \text{P.I.} & \cap \text{ (cóncava)} \end{array}$$ Como hay un cambio de curvatura en $x = 2$, es un **punto de inflexión**. Coordenada $y$: $f(2) = \frac{1}{2} + \ln(2) \approx 0.5 + 0.693 = 1.193$. 💡 **Tip:** El signo de $f''(x)$ en el dominio $(x \gt 0)$ depende solo del numerador $(2-x)$ ya que $x^3$ siempre es positivo. ✅ **Resultado (Puntos críticos):** $$\boxed{\text{Máximos: No existen; Mínimo relativo: } (1, 1); \text{Punto de Inflexión: } (2, 0.5 + \ln(2))}$$