Ecuación del plano que contiene a una recta y pasa por un punto

**2. (1,5 puntos) Determine la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y pasa por el punto $A : (1, 3, -1)$.** Para determinar la ecuación de un plano $\pi$, necesitamos un punto perteneciente al plano y dos vectores directores linealmente independientes (o un vector normal). En este caso: 1. El punto del plano será el punto dado $A(1, 3, -1)$. 2. Un vector director será el vector director de la recta $r$, que llamaremos $\vec{v}_r$. 3. El otro vector director lo obtendremos uniendo el punto $A$ con cualquier punto $P_r$ de la recta $r$, es decir, $\vec{u} = \vec{AP_r}$. 💡 **Tip:** Si una recta está contenida en un plano, cualquier punto de la recta pertenece al plano y el vector director de la recta es paralelo al plano.

La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos (forma implícita): $$r : \begin{cases} 3x + z = -1 \\ 4y + 3z = 5 \end{cases}$$ **Para hallar un punto $P_r$:** Asignamos un valor a una de las variables. Si hacemos $z = -1$: - $3x + (-1) = -1 \implies 3x = 0 \implies x = 0$ - $4y + 3(-1) = 5 \implies 4y - 3 = 5 \implies 4y = 8 \implies y = 2$ Por tanto, un punto de la recta es **$P_r(0, 2, -1)$**. **Para hallar el vector director $\vec{v}_r$:** Calculamos el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $\vec{n}_1 = (3, 0, 1)$ y $\vec{n}_2 = (0, 4, 3)$. $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_r = (0 \cdot 3 - 4 \cdot 1)\vec{i} - (3 \cdot 3 - 0 \cdot 1)\vec{j} + (3 \cdot 4 - 0 \cdot 0)\vec{k}$$ $$\vec{v}_r = -4\vec{i} - 9\vec{j} + 12\vec{k} = (-4, -9, 12)$$ $$\boxed{P_r(0, 2, -1), \quad \vec{v}_r = (-4, -9, 12)}$$

Ahora calculamos el vector $\vec{u}$ que une el punto $A(1, 3, -1)$ con el punto $P_r(0, 2, -1)$ de la recta: $$\vec{u} = \vec{AP_r} = P_r - A = (0 - 1, 2 - 3, -1 - (-1)) = (-1, -1, 0)$$ Ya disponemos de los elementos necesarios para definir el plano $\pi$: - Punto: $A(1, 3, -1)$ - Vector 1: $\vec{v}_r = (-4, -9, 12)$ - Vector 2: $\vec{u} = (-1, -1, 0)$ 💡 **Tip:** Antes de seguir, conviene verificar que los vectores no son proporcionales (lo cual es evidente aquí) y que el punto $A$ no pertenece a la recta $r$ (para que el plano sea único).

La ecuación del plano se obtiene anulando el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los elementos hallados: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 3 & z + 1 \\ -4 & -9 & 12 \\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la primera fila: $$(x - 1) \begin{vmatrix} -9 & 12 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} - (y - 3) \begin{vmatrix} -4 & 12 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} + (z + 1) \begin{vmatrix} -4 & -9 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos los determinantes de orden 2: $$(x - 1)(0 - (-12)) - (y - 3)(0 - (-12)) + (z + 1)(4 - 9) = 0$$ $$12(x - 1) - 12(y - 3) - 5(z + 1) = 0$$ Expandimos y simplificamos: $$12x - 12 - 12y + 36 - 5z - 5 = 0$$ $$12x - 12y - 5z + 19 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{12x - 12y - 5z + 19 = 0}$$