Rango de una matriz con parámetros y cálculo de la inversa

**a) (1,5 puntos) Estudie el rango de la matriz que aparece a continuación según los diferentes valores del parámetro real $m$.** Para estudiar el rango de la matriz $A$, calculamos primero su determinante. El rango será 3 para todos los valores de $m$ que hagan que el determinante sea distinto de cero. Aplicamos la regla de Sarrus para la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & m & 1 \\ 0 & -2 & m \\ \end{pmatrix}$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & m & 1 \\ 0 & -2 & m \\ \end{vmatrix} = (1 \cdot m \cdot m) + (1 \cdot 1 \cdot 0) + (0 \cdot 3 \cdot (-2)) - (0 \cdot m \cdot 0) - (1 \cdot 3 \cdot m) - (1 \cdot (-2) \cdot 1)$$ $$|A| = m^2 + 0 + 0 - 0 - 3m + 2 = m^2 - 3m + 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es 3.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $m$ que reducen el rango de la matriz: $$m^2 - 3m + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: $$m_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad m_2 = \frac{2}{2} = 1$$ 💡 **Tip:** Estos valores de $m$ son los únicos candidatos que pueden hacer que $\text{rg}(A) \lt 3$.

Analizamos los diferentes casos posibles: **Caso 1: Si $m \neq 1$ y $m \neq 2$** El determinante $|A| \neq 0$, por lo tanto, el rango de la matriz es máximo. $$\text{rg}(A) = 3$$ **Caso 2: Si $m = 1$** La matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix}$. Como $|A|=0$, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \\ \end{vmatrix} = 1 - 3 = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ **Caso 3: Si $m = 2$** La matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \\ \end{pmatrix}$. Como $|A|=0$, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \\ \end{vmatrix} = 2 - 3 = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ ✅ **Resultado (discusión del rango):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \neq 1, 2 & \text{rg}(A) = 3 \\ \text{Si } m = 1 \text{ o } m = 2 & \text{rg}(A) = 2 \end{cases}}$$

**b) (1,5 puntos) Determine la inversa de la matriz $A$ anterior cuando $m = -1$.** Si $m = -1$, la matriz es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \\ \end{pmatrix}$$ Primero comprobamos si existe la inversa calculando su determinante sustituyendo $m = -1$ en la expresión hallada en el apartado anterior: $$|A| = (-1)^2 - 3(-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6$$ Como $|A| = 6 \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. La fórmula es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$.

Calculamos cada uno de los elementos de la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \end{pmatrix}$$ Calculamos los valores: - $A_{11} = 1 - (-2) = 3$ - $A_{12} = -(-3 - 0) = 3$ - $A_{13} = -6 - 0 = -6$ - $A_{21} = -(-1 - 0) = 1$ - $A_{22} = -1 - 0 = -1$ - $A_{23} = -(-2 - 0) = 2$ - $A_{31} = 1 - 0 = 1$ - $A_{32} = -(1 - 0) = -1$ - $A_{33} = -1 - 3 = -4$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & 3 & -6 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & -4 \\ \end{pmatrix}$$

Ahora trasponemos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(A)^T = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ -6 & 2 & -4 \\ \end{pmatrix}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$: $$A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ -6 & 2 & -4 \\ \end{pmatrix}$$ Podemos expresar el resultado con los elementos divididos: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 3/6 & 1/6 & 1/6 \\ 3/6 & -1/6 & -1/6 \\ -6/6 & 2/6 & -4/6 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/6 & 1/6 \\ 1/2 & -1/6 & -1/6 \\ -1 & 1/3 & -2/3 \\ \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ -6 & 2 & -4 \\ \end{pmatrix}}$$