Probabilidad y Estadística 2019 Aragon
Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes: Vacaciones y hoteles
Una encuesta realizada sobre el mes preferido, entre julio, agosto o septiembre, para salir de vacaciones arrojó los siguientes datos: un 40% prefiere julio, un 30% agosto y el resto prefiere el mes de septiembre. Entre los que prefieren el mes de julio, un 60% pasa sus vacaciones en un hotel; entre los que prefieren el mes de agosto un 40% elige hotel para sus vacaciones y entre los encuestados que prefieren septiembre, un 65% eligen hotel.
a) (0,5 puntos) Se elige un individuo al azar, calcule la probabilidad de que vaya a un hotel y le guste ir en agosto.
b) (0,5 puntos) Se elige un individuo al azar, calcule la probabilidad de que pase sus vacaciones en un hotel.
c) (0,5 puntos) Se elige al azar un individuo y dice que no pasa sus vacaciones en un hotel, calcule la probabilidad de que prefiera irse en agosto de vacaciones.
Paso 1
Definición de eventos y diagrama de árbol
**a) (0,5 puntos) Se elige un individuo al azar, calcule la probabilidad de que vaya a un hotel y le guste ir en agosto.**
En primer lugar, definimos los sucesos del problema basándonos en los datos del enunciado:
- $J$: Preferir el mes de julio para las vacaciones.
- $A$: Preferir el mes de agosto para las vacaciones.
- $S$: Preferir el mes de septiembre para las vacaciones.
- $H$: Pasar las vacaciones en un hotel.
- $\bar{H}$: No pasar las vacaciones en un hotel.
Calculamos la probabilidad de $S$ sabiendo que la suma de las preferencias debe ser del 100%:
$P(S) = 1 - (P(J) + P(A)) = 1 - (0,40 + 0,30) = 0,30$.
Representamos la información en un **árbol de probabilidad**:
Para calcular la probabilidad de que vaya a un hotel **y** prefiera agosto, buscamos la probabilidad de la intersección $P(H \cap A)$:
$$P(H \cap A) = P(A) \cdot P(H|A) = 0,30 \cdot 0,40 = 0,12$$
💡 **Tip:** En un árbol, la probabilidad de una intersección se obtiene multiplicando las probabilidades de las ramas del camino.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(H \cap A) = 0,12}$$
Paso 2
Probabilidad total de ir a un hotel
**b) (0,5 puntos) Se elige un individuo al azar, calcule la probabilidad de que pase sus vacaciones en un hotel.**
Para calcular la probabilidad de que un individuo elija hotel independientemente del mes, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(H) = P(J) \cdot P(H|J) + P(A) \cdot P(H|A) + P(S) \cdot P(H|S)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(H) = (0,40 \cdot 0,60) + (0,30 \cdot 0,40) + (0,30 \cdot 0,65)$$
$$P(H) = 0,24 + 0,12 + 0,195 = 0,555$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total consiste en sumar todas las ramas finales que terminan en el suceso deseado (en este caso, $H$).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(H) = 0,555}$$
Paso 3
Probabilidad a posteriori (Teorema de Bayes)
**c) (0,5 puntos) Se elige al azar un individuo y dice que no pasa sus vacaciones en un hotel, calcule la probabilidad de que prefiera irse en agosto de vacaciones.**
Se nos pide calcular la probabilidad condicionada $P(A|\bar{H})$. Aplicamos la definición de probabilidad condicionada o el **Teorema de Bayes**:
$$P(A|\bar{H}) = \frac{P(A \cap \bar{H})}{P(\bar{H})}$$
Primero, calculamos el denominador $P(\bar{H})$, que es la probabilidad de no ir a un hotel (el suceso contrario a $H$):
$$P(\bar{H}) = 1 - P(H) = 1 - 0,555 = 0,445$$
Ahora calculamos el numerador $P(A \cap \bar{H})$ siguiendo la rama correspondiente en el árbol:
$$P(A \cap \bar{H}) = P(A) \cdot P(\bar{H}|A) = 0,30 \cdot 0,60 = 0,18$$
Finalmente, calculamos el cociente:
$$P(A|\bar{H}) = \frac{0,18}{0,445} \approx 0,4045$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la probabilidad condicionada cuando ya conocemos el resultado final (que no va al hotel).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A|\bar{H}) \approx 0,4045}$$