Límites, continuidad con parámetros e integrales definidas

**a) (1 punto) Determine el límite:** $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{2}{\ln((1 + x)^2)} - \frac{1}{x} \right)$$ Primero, simplificamos el logaritmo utilizando la propiedad $\ln(a^n) = n\ln(a)$: $$\ln((1+x)^2) = 2\ln(1+x)$$ Sustituyendo en el límite: $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{2}{2\ln(1+x)} - \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\ln(1+x)} - \frac{1}{x} \right)$$ Si evaluamos en $x=0$, obtenemos una indeterminación del tipo $\infty - \infty$. Para resolverla, ponemos común denominador: $$\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{x\ln(1+x)}$$ Al evaluar ahora en $x=0$: $$\frac{0 - \ln(1)}{0 \cdot \ln(1)} = \frac{0}{0}$$ 💡 **Tip:** Cuando tenemos una resta de fracciones que genera $\infty - \infty$, el primer paso suele ser unificar la expresión en una sola fracción para intentar aplicar la Regla de L'Hôpital.

Como tenemos la indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador de forma independiente: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(x - \ln(1+x))}{\frac{d}{dx}(x\ln(1+x))} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{1+x}}{\ln(1+x) + \frac{x}{1+x}}$$ Simplificamos la expresión multiplicando numerador y denominador por $(1+x)$: $$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x) - 1}{(1+x)\ln(1+x) + x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{(1+x)\ln(1+x) + x}$$ Si volvemos a evaluar en $x=0$, obtenemos de nuevo $\frac{0}{0}$: $$\frac{0}{(1+0)\ln(1) + 0} = \frac{0}{0}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Aquí, para el denominador, $u=x$ y $v=\ln(1+x)$ en el primer paso, y luego $u=(1+x)$ y $v=\ln(1+x)$ en el siguiente.

Aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(x)}{\frac{d}{dx}((1+x)\ln(1+x) + x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{[1 \cdot \ln(1+x) + (1+x) \cdot \frac{1}{1+x}] + 1}$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln(1+x) + 1 + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln(1+x) + 2}$$ Ahora evaluamos el límite cuando $x \to 0$: $$\frac{1}{\ln(1) + 2} = \frac{1}{0 + 2} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado del límite:** $$\boxed{\frac{1}{2}}$$

**b) (1 punto) Determine el valor de la constante $k$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x = 1$.** Para que $f(x)$ sea continua en $x = 1$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista $f(1)$. 2. Que exista el límite $\lim_{x \to 1} f(x)$. 3. Que ambos valores coincidan: $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$. Calculamos el valor de la función en el punto: $$f(1) = k - 1$$ Calculamos el límite cuando $x$ tiende a 1 utilizando la rama donde $x \neq 1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x - 1}$$ Al evaluar, obtenemos $\frac{0}{0}$. Podemos resolverlo simplificando la fracción mediante factorización (identidades notables) o usando L'Hôpital. Por factorización: $$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$$ $$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1)(x^2 + 1) = (1+1)(1^2+1) = 2 \cdot 2 = 4$$ 💡 **Tip:** En polinomios sencillos, la factorización suele ser más elegante, pero L'Hôpital también daría $\lim \frac{4x^3}{1} = 4$.

Igualamos el límite al valor de la función para garantizar la continuidad: $$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \implies 4 = k - 1$$ Despejamos $k$: $$k = 4 + 1 = 5$$ ✅ **Resultado del parámetro:** $$\boxed{k = 5}$$

**c) (2 puntos) La curva $y = x^2 + 1$ divide al rectángulo limitado por los vértices $A(0, 1), B(2, 1), C(0, 5)$ y $D(2, 5)$ en dos partes. Determine el área de cada una.** Analicemos el rectángulo y la posición de la curva: - El rectángulo tiene base en el eje $X$ desde $x=0$ hasta $x=2$ y altura desde $y=1$ hasta $y=5$. - La curva es $f(x) = x^2 + 1$. - En $x=0$, $y = 0^2 + 1 = 1$ (coincide con el vértice $A$). - En $x=2$, $y = 2^2 + 1 = 5$ (coincide con el vértice $D$). La curva atraviesa el rectángulo diagonalmente desde el vértice inferior izquierdo al superior derecho. El área total del rectángulo es: $$\text{Área}_{rect} = \text{base} \cdot \text{altura} = (2 - 0) \cdot (5 - 1) = 2 \cdot 4 = 8 \text{ u}^2$$ Llamaremos $S_1$ al área de la parte inferior (entre la curva y el lado inferior $y=1$) y $S_2$ al área de la parte superior (entre el lado superior $y=5$ y la curva). "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "y=x^2+1", "color": "#2563eb" }, { "id": "rect", "latex": "(0,1), (2,1), (2,5), (0,5), (0,1)", "color": "#111827", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "reg1", "latex": "1 \\le y \\le x^2+1 \\{0 \\le x \\le 2\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "reg2", "latex": "x^2+1 \\le y \\le 5 \\{0 \\le x \\le 2\\}", "color": "#fca5a5" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 2.5, "bottom": 0, "top": 6 } } }

El área de la parte inferior ($S_1$) es el área encerrada entre la curva $y = x^2 + 1$ y la recta horizontal $y = 1$ desde $x=0$ hasta $x=2$: $$S_1 = \int_{0}^{2} [(x^2 + 1) - 1] dx = \int_{0}^{2} x^2 dx$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$S_1 = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado Primera Parte:** $$\boxed{S_1 = \frac{8}{3} \text{ u}^2}$$

Podemos calcular el área de la parte superior ($S_2$) de dos formas: **Opción 1: Restando el área total:** $$S_2 = \text{Área}_{rect} - S_1 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3} \text{ u}^2$$ **Opción 2: Mediante integración:** Es el área entre la recta superior $y=5$ y la curva $y=x^2+1$: $$S_2 = \int_{0}^{2} [5 - (x^2 + 1)] dx = \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx$$ $$S_2 = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \text{ u}^2$$ Ambos métodos confirman el mismo resultado. ✅ **Resultado Segunda Parte:** $$\boxed{S_2 = \frac{16}{3} \text{ u}^2}$$