Volumen de un paralelepípedo y plano perpendicular a una recta

**a) (0,75 puntos) Determine el volumen del paralelepípedo determinado por los siguientes vectores: $\vec{u} = (1,1,1)$, $\vec{v} = (2,1,0)$ y $\vec{w}$, siendo $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$, y donde el símbolo $\times$ representa el producto vectorial.** Primero calculamos el vector $\vec{w}$ realizando el producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Para ello, resolvemos el determinante formado por los vectores unitarios $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ y las componentes de los vectores: $$\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante: $$\vec{w} = \vec{i}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 2 \cdot 1)$$ $$\vec{w} = -1\vec{i} + 2\vec{j} - 1\vec{k}$$ Por lo tanto, el vector $\vec{w}$ es: $$\boxed{\vec{w} = (-1, 2, -1)}$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores da como resultado un nuevo vector que es perpendicular a ambos.

El volumen $V$ de un paralelepípedo definido por tres vectores es el valor absoluto de su producto mixto: $V = |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$. Calculamos el determinante formado por los tres vectores: $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (1 \cdot 1 \cdot (-1)) + (2 \cdot 2 \cdot 1) + (-1 \cdot 1 \cdot 0) - [(-1 \cdot 1 \cdot 1) + (2 \cdot 1 \cdot (-1)) + (0 \cdot 2 \cdot 1)]$$ $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (-1 + 4 + 0) - (-1 - 2 + 0) = 3 - (-3) = 6$$ El volumen es el valor absoluto de este resultado: $$V = |6| = 6 \text{ u}^3$$ 💡 **Tip:** Dado que $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$, el volumen también se puede calcular como $|\vec{u} \times \vec{v}|^2$ o simplemente $\vec{w} \cdot \vec{w}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V = 6 \text{ unidades cúbicas}}$$

**b) (0,75 puntos) Determine la ecuación del plano que pasa por el punto $P : (1, 3, 2)$ y es perpendicular a la recta.** Si el plano $\pi$ es perpendicular a la recta $r$, el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$ debe ser paralelo al vector director de la recta $\vec{v}_r$. La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{n}_1 = (3, -2, 0), \quad \vec{n}_2 = (0, 2, 3)$$ $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante: $$\vec{v}_r = \vec{i}(-6 - 0) - \vec{j}(9 - 0) + \vec{k}(6 - 0) = (-6, -9, 6)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por $-3$ para facilitar los cálculos: $$\vec{n}_\pi = (2, 3, -2)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al vector director de la recta sirve como vector normal del plano perpendicular.

La ecuación general de un plano con vector normal $\vec{n}_\pi = (A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. En nuestro caso: $$2x + 3y - 2z + D = 0$$ Como el plano pasa por el punto $P(1, 3, 2)$, sustituimos sus coordenadas en la ecuación para hallar $D$: $$2(1) + 3(3) - 2(2) + D = 0$$ $$2 + 9 - 4 + D = 0$$ $$7 + D = 0 \implies D = -7$$ La ecuación del plano es $2x + 3y - 2z - 7 = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{2x + 3y - 2z - 7 = 0}$$