Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) (1,5 punto) Determine los valores del parámetro real $k$, para los que este sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & k \\ -1 & 1 & -k \\ 2 & -k & 2k \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & k & 1 \\ -1 & 1 & -k & 0 \\ 2 & -k & 2k & -1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, por lo que debemos calcular el determinante de la matriz $A$ para analizar su rango según los valores de $k$.

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & k \\ -1 & 1 & -k \\ 2 & -k & 2k \end{vmatrix} = [2 \cdot 1 \cdot 2k] + [(-1) \cdot (-k) \cdot 2] + [k \cdot (-1) \cdot (-k)] - [2 \cdot 1 \cdot k] - [(-k) \cdot (-k) \cdot 2] - [2k \cdot (-1) \cdot (-1)]$$ $$|A| = 4k + 2k + k^2 - (2k + 2k^2 + 2k)$$ $$|A| = k^2 + 6k - (2k^2 + 4k) = -k^2 + 2k$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-k^2 + 2k = 0 \implies k(-k + 2) = 0$$ Las raíces son **$k = 0$** y **$k = 2$**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el rango es máximo y el sistema siempre será Compatible Determinado.

Si $k \neq 0$ y $k \neq 2$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que: $$\text{rg}(A) = 3$$ $$\text{rg}(A^*) = 3$$ Como el rango es igual al número de incógnitas ($n=3$), ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k \in \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si **$k = 0$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ tomando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = [2 \cdot 1 \cdot (-1)] + [(-1) \cdot 0 \cdot 2] + [1 \cdot (-1) \cdot 0] - [2 \cdot 1 \cdot 1] - [0 \cdot 0 \cdot 2] - [(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)]$$ $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -2 + 0 + 0 - (2 + 0 + (-1)) = -2 - 1 = -3 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, $\text{rg}(A^*) = 3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k = 0, \text{ rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3 \implies \text{Sistema Incompatible (SI)}}$$

Si **$k = 2$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -2 & 0 \\ 2 & -2 & 4 & -1 \end{array}\right)$$ Como $|A| = 0$, $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Analizamos el rango de $A^*$ mediante un menor de orden 3: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & -1 \end{vmatrix} = [2 \cdot 1 \cdot (-1)] + [(-1) \cdot 0 \cdot 2] + [1 \cdot (-1) \cdot (-2)] - [2 \cdot 1 \cdot 1] - [(-2) \cdot 0 \cdot 2] - [(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)]$$ $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & -1 \end{vmatrix} = -2 + 0 + 2 - (2 + 0 + (-1)) = 0 - 1 = -1 \neq 0$$ Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k = 2, \text{ rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3 \implies \text{Sistema Incompatible (SI)}}$$

**b) (1,5 punto) Resuelva el sistema cuando $k = 1$.** Sustituimos $k = 1$ en el sistema original: $$\begin{cases} 2x - y + z = 1 \\ -x + y - z = 0 \\ 2x - y + 2z = -1 \end{cases}$$ Como hemos visto en el apartado (a), para $k = 1$ el sistema es **Compatible Determinado**, por lo que tiene solución única. Calculamos el determinante de $A$ para este valor: $$|A|_{k=1} = -(1)^2 + 2(1) = 1$$ Resolveremos por la **Regla de Cramer**. 💡 **Tip:** La Regla de Cramer es muy útil cuando el determinante es 1 o -1, ya que evita trabajar con fracciones complejas.

Aplicamos Cramer: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{vmatrix}}{|A|} = \frac{[2 + 0 + (-1)] - [-1 + 1 + 0]}{1} = \frac{1 - 0}{1} = 1$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix}}{|A|} = \frac{[0 + 1 + (-2)] - [0 + 2 + (-2)]}{1} = \frac{-1 - 0}{1} = -1$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix}}{|A|} = \frac{[-2 + 1 + 0] - [2 + 0 + 1]}{1} = \frac{-1 - 3}{1} = -4$$ *Revisión del cálculo de $z$*: $$|A_z| = [2 \cdot 1 \cdot (-1)] + [(-1) \cdot (-1) \cdot 2] + [1 \cdot (-1) \cdot (-1)] - [2 \cdot 1 \cdot 1] - [(-1) \cdot (-1) \cdot 2] - [(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)]$$ $$|A_z| = [-2 + 2 + 1] - [2 + 2 - 1] = 1 - 3 = -2$$ Por tanto, $z = \frac{-2}{1} = -2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 1, \quad y = -1, \quad z = -2}$$