Distribución Binomial: Mensajes de Twitter

Para resolver este ejercicio, primero debemos identificar el modelo de probabilidad que siguen los datos. Estamos ante un experimento de Bernouilli (escribir un mensaje sin faltas o con faltas) que se repite de forma independiente un número fijo de veces ($n=20$). Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de mensajes **sin faltas de ortografía** de entre los 20 escritos. Los parámetros de nuestra distribución son: - Número de ensayos: $n = 20$ - Probabilidad de éxito (mensaje sin faltas): $p = 0,75$ - Probabilidad de fracaso (mensaje con faltas): $q = 1 - p = 0,25$ Por tanto, la variable $X$ sigue una **distribución binomial**: $$X \sim B(20;\, 0,75)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula general de la probabilidad para una distribución binomial $B(n, p)$ es: $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$

**a) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad de los mensajes escritos en un día, es decir 10, no tengan faltas de ortografía?** Nos piden calcular la probabilidad de que el número de éxitos sea exactamente $k = 10$. Aplicamos la fórmula de la binomial: $$P(X = 10) = \binom{20}{10} \cdot (0,75)^{10} \cdot (0,25)^{20-10}$$ Simplificando los exponentes: $$P(X = 10) = \binom{20}{10} \cdot (0,75)^{10} \cdot (0,25)^{10}$$ Como el enunciado indica que no es necesario realizar los cálculos finales, dejamos la expresión indicada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 10) = \binom{20}{10} \cdot (0,75)^{10} \cdot (0,25)^{10}}$$

**b) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún mensaje de los 20 escritos en un día tenga faltas de ortografía?** Si ningún mensaje de los 20 tiene faltas, significa que los 20 mensajes son "éxitos" según nuestra definición de $X$ (mensajes sin faltas). Por lo tanto, buscamos $P(X = 20)$. Aplicando la fórmula: $$P(X = 20) = \binom{20}{20} \cdot (0,75)^{20} \cdot (0,25)^{20-20}$$ Sabemos que $\binom{20}{20} = 1$ y que $(0,25)^0 = 1$, por lo que la expresión se simplifica a: $$P(X = 20) = (0,75)^{20}$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de que ocurran $n$ éxitos seguidos es simplemente $p^n$ si los sucesos son independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 20) = (0,75)^{20}}$$

**c) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que 18 o más mensajes de los 20 escritos en un día sí tengan faltas de ortografía?** En este apartado, nos preguntan por los mensajes **con faltas**. Podemos definir una nueva variable $Y$ como el número de mensajes con faltas de ortografía. Como la probabilidad de tener faltas es $0,25$, entonces $Y \sim B(20;\, 0,25)$. Nos piden la probabilidad de que $Y$ sea 18, 19 o 20: $$P(Y \ge 18) = P(Y = 18) + P(Y = 19) + P(Y = 20)$$ Utilizando la fórmula de la binomial para cada caso con $p=0,25$: - $P(Y=18) = \binom{20}{18} \cdot (0,25)^{18} \cdot (0,75)^{2}$ - $P(Y=19) = \binom{20}{19} \cdot (0,25)^{19} \cdot (0,75)^{1}$ - $P(Y=20) = \binom{20}{20} \cdot (0,25)^{20} \cdot (0,75)^{0}$ La suma queda expresada como: $$P(Y \ge 18) = \binom{20}{18} (0,25)^{18} (0,75)^2 + \binom{20}{19} (0,25)^{19} (0,75) + (0,25)^{20}$$ *Nota: También se podría resolver usando la variable $X$ original, ya que $Y \ge 18$ es equivalente a que haya 2 o menos mensajes sin faltas ($X \le 2$).* ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Y \ge 18) = \binom{20}{18} (0,25)^{18} (0,75)^2 + \binom{20}{19} (0,25)^{19} (0,75) + (0,25)^{20}}$$