Estudio de función racional e integral definida

**a) (1,5 puntos) Determine las asíntotas de la función, si existen.** Primero, determinamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$(x+1)^2 = 0 \implies x = -1$$ Por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. **Asíntotas Verticales (AV):** Estudiamos el límite en $x = -1$: $$\lim_{x \to -1} \frac{x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en $x = -1$. 💡 **Tip:** Las asíntotas verticales suelen estar en los puntos que no pertenecen al dominio en funciones racionales.

**Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x - 1}{(x + 1)^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x - 1}{x^2 + 2x + 1} = 0$$ Al ser el grado del denominador mayor que el del numerador, el límite es $0$. Por tanto, hay una asíntota horizontal en **$y = 0$**. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Dado que existe una asíntota horizontal, **no existen asíntotas oblicuas**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{AV: } x = -1, \quad \text{AH: } y = 0, \quad \text{AO: No tiene}}$$

**b) (1 punto) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de esa función, si existen.** Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(1) \cdot (x + 1)^2 - (x - 1) \cdot 2(x + 1)}{(x + 1)^4}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $(x+1)$: $$f'(x) = \frac{(x + 1) - 2(x - 1)}{(x + 1)^3} = \frac{x + 1 - 2x + 2}{(x + 1)^3} = \frac{3 - x}{(x + 1)^3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies 3 - x = 0 \implies x = 3$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico: $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$ y $(3, +\infty)$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline 3-x & + & | & + & 0 & - \\ (x+1)^3 & - & 0 & + & + & + \\ \hline f'(x) & - & \nexists & + & 0 & - \\ \text{Función} & \searrow & \nexists & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -1)$: $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. - En $(-1, 3)$: $f'(x) \gt 0$, la función es **creciente**. - En $(3, +\infty)$: $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente: } (-1, 3) \quad \text{Decreciente: } (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)}$$

**c) (1,5 puntos) Determine la integral $\int_1^3 f(x) dx$.** Para resolver $\int \frac{x-1}{(x+1)^2} dx$, podemos descomponer la fracción o usar un cambio de variable. Vamos a descomponerla ajustando el numerador: $$\frac{x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - 2}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1}{(x + 1)^2} - \frac{2}{(x + 1)^2} = \frac{1}{x + 1} - 2(x + 1)^{-2}$$ Calculamos la integral indefinida: $$\int \left( \frac{1}{x+1} - 2(x+1)^{-2} \right) dx = \ln|x+1| - 2 \frac{(x+1)^{-1}}{-1} = \ln|x+1| + \frac{2}{x+1} + C$$ 💡 **Tip:** También se puede resolver mediante descomposición en fracciones simples buscando $A$ y $B$ tales que $\frac{x-1}{(x+1)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2}$.

Aplicamos la Regla de Barrow entre los límites $1$ y $3$: $$\int_1^3 f(x) dx = \left[ \ln|x+1| + \frac{2}{x+1} \right]_1^3$$ Evaluamos en el límite superior: $$F(3) = \ln(4) + \frac{2}{3+1} = \ln(4) + \frac{2}{4} = \ln(4) + 0,5$$ Evaluamos en el límite inferior: $$F(1) = \ln(2) + \frac{2}{1+1} = \ln(2) + \frac{2}{2} = \ln(2) + 1$$ Restamos los valores: $$I = (\ln(4) + 0,5) - (\ln(2) + 1) = \ln(4) - \ln(2) - 0,5$$ Usando propiedades de los logaritmos ($\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)$): $$I = \ln\left(\frac{4}{2}\right) - 0,5 = \ln(2) - 0,5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_1^3 f(x) dx = \ln(2) - 0,5 \approx 0,1931}$$