Ecuación del plano y área de un triángulo en el espacio

**a) (1 punto) Determine la ecuación del plano determinado por el punto $P : (2, 1, 2)$ y la recta $r : (1, 0, 0) + t(-1, 1, 1)$.** Para obtener la ecuación de un plano $\pi$, necesitamos un punto perteneciente al plano y dos vectores directores que no sean paralelos entre sí. De la recta $r$, extraemos directamente un punto $A$ y su vector director $\vec{v_r}$: - Punto de la recta: $A(1, 0, 0)$ - Vector director de la recta: $\vec{v_r} = (-1, 1, 1)$ Como el plano debe contener a la recta $r$ y al punto $P$, el punto $P(2, 1, 2)$ pertenecerá al plano. El primer vector director será $\vec{v_r}$ y el segundo vector director lo obtendremos uniendo el punto $A$ de la recta con el punto $P$: $$\vec{AP} = P - A = (2-1, 1-0, 2-0) = (1, 1, 2)$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto $P$ y dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Si te dan una recta, usa su vector director y crea otro vector uniendo un punto de la recta con el punto externo.

Para hallar la ecuación implícita (o general) del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, calculamos el vector normal $\vec{n}$ mediante el producto vectorial de los dos vectores directores del plano: $$\vec{n} = \vec{v_r} \times \vec{AP}$$ Planteamos el determinante y resolvemos mediante la regla de Sarrus: $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = [ (1 \cdot 2)\vec{i} + (1 \cdot 1)\vec{j} + (-1 \cdot 1)\vec{k} ] - [ (1 \cdot 1)\vec{k} + (1 \cdot \vec{i}) + (2 \cdot -1)\vec{j} ]$$ $$\vec{n} = (2\vec{i} + \vec{j} - \vec{k}) - (\vec{k} + \vec{i} - 2\vec{j})$$ $$\vec{n} = (2-1)\vec{i} + (1+2)\vec{j} + (-1-1)\vec{k} = \vec{i} + 3\vec{j} - 2\vec{k}$$ Por tanto, el vector normal es $\vec{n} = (1, 3, -2)$.

Utilizando el vector normal $\vec{n} = (1, 3, -2)$, la ecuación del plano es de la forma: $$1x + 3y - 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, sustituimos las coordenadas del punto $P(2, 1, 2)$ en la ecuación: $$1(2) + 3(1) - 2(2) + D = 0$$ $$2 + 3 - 4 + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ La ecuación del plano es: $$\boxed{x + 3y - 2z - 1 = 0}$$ 💡 **Tip:** También puedes obtener la ecuación directamente mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z-2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$$

**b) (0,5 puntos) Dados los vectores $\vec{u} = (1, 2, 0)$ y $\vec{v} = (2, 1, -3)$, determine el área del triángulo que tiene por lados esos dos vectores.** El área de un triángulo definido por dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es igual a la mitad del módulo de su producto vectorial. Calculamos primero $\vec{u} \times \vec{v}$ mediante un determinante: $$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix}$$ Aplicando Sarrus: $$\vec{u} \times \vec{v} = [ (2 \cdot -3)\vec{i} + (0 \cdot 2)\vec{j} + (1 \cdot 1)\vec{k} ] - [ (2 \cdot 2)\vec{k} + (1 \cdot 0)\vec{i} + (-3 \cdot 1)\vec{j} ]$$ $$\vec{u} \times \vec{v} = (-6\vec{i} + 0\vec{j} + \vec{k}) - (4\vec{k} + 0\vec{i} - 3\vec{j})$$ $$\vec{u} \times \vec{v} = -6\vec{i} + 3\vec{j} - 3\vec{k}$$ El vector resultante es $(-6, 3, -3)$.

Calculamos el módulo del vector producto vectorial: $$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9 + 9} = \sqrt{54}$$ Podemos simplificar la raíz: $\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$. Finalmente, el área del triángulo es: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}| = \frac{3\sqrt{6}}{2} \approx 3.67 \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el módulo del producto vectorial $|\vec{u} \times \vec{v}|$ representa el área del paralelogramo, por eso para el triángulo dividimos entre 2. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{3\sqrt{6}}{2} \text{ u}^2}$$