Problema de sistemas y cálculo de determinantes

**a) (1,5 puntos) El club deportivo Collarada está formado por 60 deportistas de las siguientes disciplinas: esquí alpino, esquí nórdico y escalada. Se sabe que hay 16 deportistas menos de esquí alpino que la suma de los de esquí nórdico y escalada. Además, el número de deportistas de esquí alpino más los de escalada es tres veces el número de deportistas de esquí nórdico. Calcula el número de deportistas de cada disciplina.** En primer lugar, definimos las variables para cada disciplina: - $x$: número de deportistas de esquí alpino. - $y$: número de deportistas de esquí nórdico. - $z$: número de deportistas de escalada. Traducimos el enunciado a ecuaciones algebraicas: 1. El total es de 60 deportistas: $$x + y + z = 60$$ 2. Hay 16 de alpino menos que la suma de nórdico y escalada ($x = (y + z) - 16$): $$x - y - z = -16$$ 3. Alpino más escalada es tres veces el nórdico ($x + z = 3y$): $$x - 3y + z = 0$$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas de sistemas, asegúrate de colocar todas las variables en el mismo orden en cada ecuación para facilitar la resolución matricial.

Escribimos el sistema en forma matricial y aplicamos transformaciones elementales de fila: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 60 \\ 1 & -1 & -1 & -16 \\ 1 & -3 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Hacemos ceros en la primera columna: - $F_2 \to F_2 - F_1$ - $F_3 \to F_3 - F_1$ $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 60 \\ 0 & -2 & -2 & -76 \\ 0 & -4 & 0 & -60 \end{array}\right)$$ De la tercera fila ($F_3$) obtenemos directamente $y$: $$-4y = -60 \implies y = \frac{-60}{-4} = 15$$ De la segunda fila ($F_2$): $$-2y - 2z = -76 \implies -2(15) - 2z = -76 \implies -30 - 2z = -76$$ $$-2z = -46 \implies z = 23$$ Sustituimos en la primera fila ($F_1$): $$x + 15 + 23 = 60 \implies x + 38 = 60 \implies x = 22$$ ✅ **Resultado (disciplinas):** $$\boxed{\text{Alpino: 22, Nórdico: 15, Escalada: 23}}$$

**b) (1,5 puntos) Sabiendo que $a = -2$, calcule el valor del siguiente determinante.** Sustituimos el valor de $a = -2$ en el determinante dado: $$\Delta = \begin{vmatrix} -2 & -2 + b & -2 - c \\ -4 & -6 + 2b & -8 - 2c \\ -6 & -12 + 3b & -20 - 3c \end{vmatrix}$$ Para simplificar el cálculo, utilizaremos las propiedades de los determinantes. Realizaremos operaciones elementales entre filas, ya que estas no varían el valor del determinante. 💡 **Tip:** Recuerda que si a una fila (o columna) se le suma una combinación lineal de las demás, el determinante no varía.

Buscamos hacer ceros en la primera columna para reducir el determinante: 1. Realizamos $F_2 \to F_2 - 2F_1$: - $a_{21}: -4 - 2(-2) = 0$ - $a_{22}: (-6 + 2b) - 2(-2 + b) = -6 + 2b + 4 - 2b = -2$ - $a_{23}: (-8 - 2c) - 2(-2 - c) = -8 - 2c + 4 + 2c = -4$ 2. Realizamos $F_3 \to F_3 - 3F_1$: - $a_{31}: -6 - 3(-2) = 0$ - $a_{32}: (-12 + 3b) - 3(-2 + b) = -12 + 3b + 6 - 3b = -6$ - $a_{33}: (-20 - 3c) - 3(-2 - c) = -20 - 3c + 6 + 3c = -14$ El determinante queda así: $$\Delta = \begin{vmatrix} -2 & -2 + b & -2 - c \\ 0 & -2 & -4 \\ 0 & -6 & -14 \end{vmatrix}$$ Se observa que los términos que dependen de $b$ y $c$ han desaparecido en las filas inferiores.

Desarrollamos el determinante por la primera columna, ya que tiene dos ceros: $$\Delta = (-2) \cdot \begin{vmatrix} -2 & -4 \\ -6 & -14 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante de orden 2: $$\begin{vmatrix} -2 & -4 \\ -6 & -14 \end{vmatrix} = (-2) \cdot (-14) - (-6) \cdot (-4) = 28 - 24 = 4$$ Finalmente multiplicamos por el factor exterior: $$\Delta = (-2) \cdot 4 = -8$$ Nota: Si hubiéramos operado con la letra $a$, el resultado sería $a^3$. Como $a=-2$, $(-2)^3 = -8$. ✅ **Resultado (determinante):** $$\boxed{-8}$$