Probabilidad compuesta y Teorema de Bayes

**a) (0,75 puntos) Se escoge una bola cualquiera de la caja $A$ y se pasa a la caja $B$. Posteriormente se saca una bola de la caja $B$. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de la caja $B$ sea morada?** Primero, definimos los sucesos para la primera extracción de la caja $A$: - $M_A$: Sacar bola morada de la caja $A$. - $R_A$: Sacar bola roja de la caja $A$. Posteriormente, definimos el suceso para la extracción de la caja $B$: - $M_B$: Sacar bola morada de la caja $B$. Consideramos la composición de la caja $B$ tras el trasvase. Originalmente, $B$ tiene 4 moradas y 4 rojas (8 total). - Si pasamos una morada ($M_A$), $B$ tendrá 5 moradas y 4 rojas (9 total). - Si pasamos una roja ($R_A$), $B$ tendrá 4 moradas y 5 rojas (9 total). Representamos el diagrama de árbol:

Para hallar la probabilidad de que la bola extraída de $B$ sea morada, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(M_B) = P(M_A) \cdot P(M_B | M_A) + P(R_A) \cdot P(M_B | R_A)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(M_B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} + \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{9}$$ Realizamos las operaciones: $$P(M_B) = \frac{15}{45} + \frac{8}{45} = \frac{23}{45}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que llegan al suceso deseado da la probabilidad total. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M_B) = \frac{23}{45} \approx 0,5111}$$

**b) (0,75 puntos) Ahora volvemos a la situación original de las cajas; la $A$ contiene 3 moradas y 2 rojas y la $B$ contiene 4 moradas y 4 rojas. Seleccionamos una caja al azar y se saca una bola que resulta ser roja. ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea de la caja $A$?** En esta nueva situación, primero elegimos la caja y luego extraemos la bola. Definimos: - $A$: Elegir la caja $A$. ($P(A) = 1/2$) - $B$: Elegir la caja $B$. ($P(B) = 1/2$) - $R$: La bola extraída es roja. Probabilidades de sacar roja en cada caja: - $P(R|A) = \frac{2}{5}$ - $P(R|B) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ Diagrama de árbol:

Nos piden la probabilidad de que la caja sea $A$ sabiendo que la bola es roja, es decir, $P(A|R)$. Usamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|R) = \frac{P(A) \cdot P(R|A)}{P(R)}$$ Primero calculamos la probabilidad total de sacar una bola roja $P(R)$: $$P(R) = P(A) \cdot P(R|A) + P(B) \cdot P(R|B)$$ $$P(R) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{4+5}{20} = \frac{9}{20}$$ Ahora sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(A|R) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}}{\frac{9}{20}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{9}{20}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{20}{9} = \frac{20}{45}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 5: $$P(A|R) = \frac{4}{9}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite "invertir" la probabilidad condicionada. Es la probabilidad de la causa (Caja A) dado el efecto (Bola roja). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|R) = \frac{4}{9} \approx 0,4444}$$