Optimización, Integración Racional y Límites con Parámetros

**a) (1,5 puntos) Un rectángulo tiene sus vértices en los puntos $(0, 0), (a, 0), (0, b)$ y $(a, b)$, donde $a > 0$ y $b > 0$ y además el punto $(a, b)$, está situado en la curva de ecuación $y = \frac{1}{x^2} + 9$. De entre todos los rectángulos que cumplen esas condiciones determine el rectángulo de área mínima y calcule dicha área mínima.** El rectángulo tiene base $a$ y altura $b$. El área del rectángulo viene dada por el producto de sus dimensiones: $$A = a \cdot b$$ Como el punto $(a, b)$ está sobre la curva $y = \frac{1}{x^2} + 9$, podemos expresar $b$ en función de $a$: $$b = \frac{1}{a^2} + 9$$ Sustituimos esta expresión en la fórmula del área para obtener una función que dependa solo de la variable $a$: $$A(a) = a \cdot \left( \frac{1}{a^2} + 9 \right) = \frac{1}{a} + 9a$$ El dominio de esta función, según el enunciado, es $a > 0$. 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso es siempre expresar la magnitud a optimizar en función de una única variable usando las ligaduras del problema.

Para hallar el mínimo, derivamos la función de área $A(a)$ con respecto a $a$ e igualamos a cero: $$A'(a) = -\frac{1}{a^2} + 9$$ Resolvemos la ecuación $A'(a) = 0$: $$-\frac{1}{a^2} + 9 = 0 \implies 9 = \frac{1}{a^2} \implies a^2 = \frac{1}{9}$$ Dado que $a > 0$, tomamos la raíz positiva: $$a = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$$ Para comprobar que se trata de un mínimo, utilizamos la segunda derivada: $$A''(a) = \frac{2}{a^3}$$ Evaluamos en el punto crítico: $$A''\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{(1/3)^3} = 2 \cdot 27 = 54 > 0$$ Al ser la segunda derivada positiva, confirmamos que en $a = 1/3$ hay un **mínimo relativo**. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f''(x) > 0$ el punto es un mínimo, y si $f''(x) < 0$ es un máximo.

Calculamos el valor de la altura $b$ para $a = 1/3$: $$b = \frac{1}{(1/3)^2} + 9 = \frac{1}{1/9} + 9 = 9 + 9 = 18$$ Finalmente, calculamos el área mínima: $$A\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\text{Dimensiones: } a = \frac{1}{3}, b = 18 \quad \text{Área mínima: } 6 \text{ u}^2}$$

**b) (1 punto) Determine $\int \frac{1}{9 - x^2} dx$** Se trata de una integral racional. El denominador se puede factorizar como una diferencia de cuadrados: $$9 - x^2 = (3 - x)(3 + x)$$ Descomponemos en fracciones simples: $$\frac{1}{(3 - x)(3 + x)} = \frac{A}{3 - x} + \frac{B}{3 + x}$$ $$1 = A(3 + x) + B(3 - x)$$ Para hallar los coeficientes: - Si $x = 3$: $1 = A(6) \implies A = 1/6$ - Si $x = -3$: $1 = B(6) \implies B = 1/6$ La integral queda: $$\int \frac{1/6}{3 - x} dx + \int \frac{1/6}{3 + x} dx$$ 💡 **Tip:** Cuidado con el signo en la primera integral. La derivada de $3-x$ es $-1$, por lo que aparecerá un signo negativo al integrar el logaritmo.

Integramos cada término: $$\int \frac{1/6}{3 - x} dx = -\frac{1}{6} \ln|3 - x|$$ $$\int \frac{1/6}{3 + x} dx = \frac{1}{6} \ln|3 + x|$$ Sumamos ambos resultados y añadimos la constante de integración $C$: $$\frac{1}{6} (\ln|3 + x| - \ln|3 - x|) + C = \frac{1}{6} \ln \left| \frac{3 + x}{3 - x} \right| + C$$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\frac{1}{6} \ln \left| \frac{3 + x}{3 - x} \right| + C}$$

**c) (1,5 puntos) Determine el valor de la constante $k$ para que se verifique que: $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + x^2 + kx + 3}{x^3 - x^2 - x + 1} = 2$** Primero evaluamos el límite del denominador cuando $x \to 1$: $$\lim_{x \to 1} (x^3 - x^2 - x + 1) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$$ Para que el límite de la fracción sea un número finito (en este caso 2), el numerador también debe tender a 0 cuando $x \to 1$, para evitar una asíntota vertical y generar una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ que pueda resolverse. Por tanto: $$1^3 + 1^2 + k(1) + 3 = 0 \implies 5 + k = 0 \implies k = -5$$ 💡 **Tip:** Si el denominador de un límite tiende a 0 y el resultado es finito, el numerador debe ser necesariamente 0 en ese punto.

Con $k = -5$, comprobamos si el límite efectivamente es 2 aplicando la regla de L'Hôpital debido a la indeterminación $\frac{0}{0}$: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + x^2 - 5x + 3}{x^3 - x^2 - x + 1} = \left[ \frac{0}{0} \right] = \lim_{x \to 1} \frac{3x^2 + 2x - 5}{3x^2 - 2x - 1}$$ Evaluamos de nuevo en $x = 1$: $$\frac{3(1)^2 + 2(1) - 5}{3(1)^2 - 2(1) - 1} = \frac{0}{0}$$ Aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to 1} \frac{6x + 2}{6x - 2} = \frac{6(1) + 2}{6(1) - 2} = \frac{8}{4} = 2$$ El resultado coincide con el valor dado en el enunciado, por lo que el valor de $k$ es correcto. ✅ **Resultado (Apartado c):** $$\boxed{k = -5}$$