Alineación de puntos y propiedades del producto vectorial

**a) (1 punto) Determine el valor de las constantes $a$ y $b$ para que los puntos siguientes estén alineados $A : (1, 1, 2), B : (2, 2, 2)$ y $C : (-1, a, b)$ y determine la recta que los contiene.** Tres puntos $A$, $B$ y $C$ están alineados si los vectores que forman entre ellos son proporcionales (tienen la misma dirección). Empezamos calculando los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (2 - 1, 2 - 1, 2 - 2) = (1, 1, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-1 - 1, a - 1, b - 2) = (-2, a - 1, b - 2)$$ Para que los puntos estén alineados, debe existir un número real $k$ tal que $\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$, o lo que es lo mismo, sus componentes deben ser proporcionales: $$\frac{-2}{1} = \frac{a - 1}{1} = \frac{b - 2}{0}$$ 💡 **Tip:** Cuando una componente del vector director es $0$, para que haya alineación, la componente correspondiente del otro vector también debe ser necesariamente $0$ para evitar una indeterminación.

Igualamos las razones componente a componente para hallar los valores de $a$ y $b$: 1. Para la primera y segunda componente: $$-2 = \frac{a - 1}{1} \implies -2 = a - 1 \implies a = -2 + 1 \implies \mathbf{a = -1}$$ 2. Para la tercera componente (al ser el denominador $0$ en la razón de $\vec{AB}$): $$b - 2 = 0 \implies \mathbf{b = 2}$$ ✅ **Resultado de los parámetros:** $$\boxed{a = -1, \quad b = 2}$$

Una vez hallados los parámetros, sabemos que los puntos pertenecen a una misma recta $r$. Para definir la recta, tomamos el punto $A(1, 1, 2)$ y el vector director $\vec{v_r} = \vec{AB} = (1, 1, 0)$. Podemos expresar la recta en su forma paramétrica: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$$ O en su forma continua: $$r: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} ; \quad z = 2$$ ✅ **Resultado de la recta:** $$\boxed{r: x - 1 = y - 1, \quad z = 2}$$

**b) (0,5 puntos) Dados dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, calcule el vector: $$(\vec{u} - \vec{v}) \times (\vec{u} - \vec{v})$$ Donde el símbolo “$\times$” representa el producto vectorial.** Para resolver este apartado, llamemos $\vec{w}$ al vector resultante de la resta: $\vec{w} = \vec{u} - \vec{v}$. El enunciado nos pide calcular: $$\vec{w} \times \vec{w}$$ Por las propiedades del producto vectorial, sabemos que el producto vectorial de cualquier vector por sí mismo es siempre el **vector nulo** ($\vec{0}$), ya que el ángulo que forma un vector consigo mismo es $0^\circ$ y $\sin(0^\circ) = 0$. Si quisiéramos desarrollarlo mediante la propiedad distributiva: $$(\vec{u} - \vec{v}) \times (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \times \vec{u} - \vec{u} \times \vec{v} - \vec{v} \times \vec{u} + \vec{v} \times \vec{v}$$ Como $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$ y $\vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}$: $$= \vec{0} - \vec{u} \times \vec{v} - (-\vec{u} \times \vec{v}) + \vec{0} = - \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores paralelos (o iguales) siempre es el vector nulo $\vec{0} = (0, 0, 0)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(\vec{u} - \vec{v}) \times (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{0}}$$