Rango de una matriz con parámetros e inversa

**a) (2 puntos) Determine el rango de la matriz $A$ siguiente, según los diferentes valores del parámetro $k$.** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Para una matriz $3 \times 3$, el rango será $3$ si su determinante es distinto de cero. Comenzamos calculando el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} k & 0 & k \\ 0 & k + 2 & 0 \\ 1 & 1 & k + 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [k \cdot (k+2) \cdot (k+2)] + [0 \cdot 0 \cdot 1] + [k \cdot 0 \cdot 1] - [1 \cdot (k+2) \cdot k] - [1 \cdot 0 \cdot k] - [(k+2) \cdot 0 \cdot 0]$$ Simplificamos la expresión: $$|A| = k(k+2)^2 - k(k+2)$$ Para facilitar el estudio de los ceros, factorizamos la expresión extrayendo factor común $k(k+2)$: $$|A| = k(k+2) \left[ (k+2) - 1 \right] = k(k+2)(k+1)$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ permite determinar rápidamente si el rango es máximo. Si $|A| \neq 0$, entonces $\text{rg}(A) = 3$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $k$ donde el rango no es máximo: $$k(k+2)(k+1) = 0$$ Esto nos da tres valores críticos: 1. $k = 0$ 2. $k = -1$ 3. $k = -2$ **Caso 1: Si $k \neq 0, k \neq -1$ y $k \neq -2$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por lo tanto, las tres filas son linealmente independientes. $$\boxed{\text{Si } k \in \mathbb{R} \setminus \{0, -1, -2\}, \text{rg}(A) = 3}$$

Si **$k = 0$**, la matriz es: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Como tiene una fila completa de ceros, el determinante es $0$ y $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 \neq 0$$ Al existir un menor de orden 2 no nulo: $$\boxed{\text{Si } k = 0, \text{rg}(A) = 2}$$

Si **$k = -1$**, la matriz es: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$$ Por tanto: $$\boxed{\text{Si } k = -1, \text{rg}(A) = 2}$$

Si **$k = -2$**, la matriz es: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Nuevamente, hay una fila de ceros, por lo que el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$$ Por lo tanto: $$\boxed{\text{Si } k = -2, \text{rg}(A) = 2}$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz es $0$, el rango será el orden del mayor menor (submatriz cuadrada) cuyo determinante sea distinto de cero.

**b) (1 punto) Determine la inversa de la matriz $A$ anterior cuando $k = 1$.** Sustituimos $k = 1$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante (usando la fórmula obtenida en el apartado a o calculando de nuevo): $$|A| = 1(1+2)(1+1) = 1 \cdot 3 \cdot 2 = 6$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz es invertible. La fórmula de la inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$$ Primero calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 9$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -3$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -3$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -3 \\ 1 & 2 & -1 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

Transponemos la matriz adjunta: $$\text{Adj}(A)^T = \begin{pmatrix} 9 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & 0 \\ -3 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|A| = 6$: $$A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 9 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & 0 \\ -3 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$ Podemos expresar el resultado simplificando las fracciones: $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 3/2 & 1/6 & -1/2 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ -1/2 & -1/6 & 1/2 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Siempre puedes comprobar si el resultado es correcto verificando que $A \cdot A^{-1} = I$.