Área de un triángulo y ángulos en el espacio

**(a) [1,25 puntos] Halla el área de dicho triángulo.** Para calcular el área del triángulo determinado por los puntos $A$, $B$ y $C$, primero definimos los vectores que parten de un mismo vértice, por ejemplo, el vértice $A$. Estos son los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 1, 0 - 1, 2 - 0) = (0, -1, 2)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - 1, 2 - 1, 1 - 0) = (-1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo de vértices $A, B, C$ se puede calcular como la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus vectores concurrentes: $\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|.$

Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante de las componentes, utilizando la regla de Sarrus: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante: $$\vec{w} = [(\vec{i})(-1)(1) + (0)(1)(\vec{k}) + (-1)(2)(\vec{j})] - [(\vec{k})(-1)(-1) + (1)(2)(\vec{i}) + (0)(-1)(\vec{j})]$$ $$\vec{w} = [-\vec{i} + 0\vec{k} - 2\vec{j}] - [\vec{k} + 2\vec{i} + 0\vec{j}]$$ $$\vec{w} = -\vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k} - 2\vec{i} = -3\vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k}$$ Por lo tanto, el vector resultante es: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (-3, -2, -1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial es un vector perpendicular al plano que contiene a los otros dos vectores.

El área del triángulo es la mitad del módulo del vector obtenido anteriormente: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$$ El área es: $$\text{Área} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,87 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{\sqrt{14}}{2} \text{ u}^2}$$

**(b) [1,25 puntos] Calcula el coseno del ángulo en el vértice $A$.** El ángulo en el vértice $A$ es el ángulo formado por los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Usamos la definición del producto escalar: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\hat{A})$$ De aquí despejamos el coseno: $$\cos(\hat{A}) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$$ Recordamos los vectores calculados anteriormente: $\vec{AB} = (0, -1, 2)$ $\vec{AC} = (-1, 1, 1)$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (0)(-1) + (-1)(1) + (2)(1) = 0 - 1 + 2 = 1$$ 💡 **Tip:** El producto escalar se calcula sumando el producto de las componentes correspondientes: $u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$.

Calculamos los módulos de cada vector: $$|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5}$$ $$|\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$$ Sustituimos en la fórmula del coseno: $$\cos(\hat{A}) = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$$ Racionalizando (opcional pero recomendado): $$\cos(\hat{A}) = \frac{\sqrt{15}}{15}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\cos(\hat{A}) = \frac{\sqrt{15}}{15}}$$