Discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros

**Discútelo según los distintos valores de $m$.** Primero, obtenemos el sistema de ecuaciones a partir de la ecuación matricial $X^t A = B^t$. Calculamos el producto $X^t A$: $$X^t A = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 - m & 1 & 2m - 1 \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x(2-m)+y+zm, & x+ym+z, & x(2m-1)+y+z \end{pmatrix}$$ Igualamos al vector $B^t = \begin{pmatrix} 2m^2 - 1 & m & 1 \end{pmatrix}$ para obtener el sistema: $$\begin{cases} (2-m)x + y + mz = 2m^2 - 1 \\ x + my + z = m \\ (2m-1)x + y + z = 1 \end{cases}$$ La matriz de coeficientes $M$ y la matriz ampliada $M^*$ son: $$M = \begin{pmatrix} 2-m & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ 2m-1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2-m & 1 & m & 2m^2-1 \\ 1 & m & 1 & m \\ 2m-1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al multiplicar una matriz fila $(1 \times 3)$ por una matriz cuadrada $(3 \times 3)$, el resultado es una matriz fila $(1 \times 3)$.

Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz $M$ mediante la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 2-m & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ 2m-1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|M| = [(2-m) \cdot m \cdot 1] + [1 \cdot 1 \cdot (2m-1)] + [1 \cdot 1 \cdot m] - [(2m-1) \cdot m \cdot m + 1 \cdot 1 \cdot (2-m) + 1 \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|M| = (2m - m^2) + (2m - 1) + m - [2m^3 - m^2 + 2 - m + 1]$$ $$|M| = -m^2 + 5m - 1 - [2m^3 - m^2 - m + 3]$$ $$|M| = -2m^3 + 6m - 4$$ Para hallar los valores críticos, igualamos a cero: $-2m^3 + 6m - 4 = 0$, que es equivalente a $m^3 - 3m + 2 = 0$. Probamos raíces enteras por Ruffini: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 1 & & 1 & 1 & -2 \\\hline & 1 & 1 & -2 & 0 \end{array}$$ Obtenemos $(m-1)(m^2+m-2)=0$. Resolviendo $m^2+m-2=0$ obtenemos $m=1$ y $m=-2$. Las raíces son **$m = 1$ (doble)** y **$m = -2$**.

Si $m \neq 1$ y $m \neq -2$, entonces el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero: $$|M| \neq 0 \implies \text{rango}(M) = 3$$ Como el rango de la matriz ampliada $M^*$ no puede ser mayor que 3 y contiene a $M$, también se cumple que $\text{rango}(M^*) = 3$. Al ser el rango igual al número de incógnitas ($n=3$), aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 1, -2, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD). tiene solución única.}}$$

Sustituimos $m = 1$ en la matriz ampliada $M^*$: $$M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que todas las filas son idénticas. Por tanto, el rango de ambas matrices es 1: $$\text{rango}(M) = 1 = \text{rango}(M^*)$$ Como el rango es menor que el número de incógnitas ($1 < 3$), según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI). Tiene infinitas soluciones.}}$$

Sustituimos $m = -2$ en la matriz ampliada $M^*$: $$M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 4 & 1 & -2 & 7 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ -5 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|M| = 0$, por lo que $\text{rango}(M) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -8 - 1 = -9 \neq 0 \implies \text{rango}(M) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $M^*$ analizando el determinante formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 4 & 1 & 7 \\ 1 & -2 & -2 \\ -5 & 1 & 1 \end{vmatrix} = [-8 + 10 + 7] - [70 - 8 + 1] = 9 - 63 = -54 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en la ampliada, $\text{rango}(M^*) = 3$. Dado que $\text{rango}(M) = 2 \neq \text{rango}(M^*) = 3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = -2, \text{ el sistema es Incompatible (SI). No tiene solución.}}$$