Área de un recinto delimitado por una función logarítmica y una recta

**(a) [1 punto] Esboza el recinto que determinan la gráfica de $f$, la gráfica de $g$, la recta $x = 1$ y la recta $x = 3$. (No es necesario calcular los puntos de corte entre las dos gráficas).** Para esbozar el recinto, evaluamos ambas funciones en los extremos del intervalo $[1, 3]$: 1. **Función $f(x) = \ln(x+2)$:** - Es una función logarítmica creciente (base $e > 1$). - Para $x = 1$: $f(1) = \ln(1+2) = \ln(3) \approx 1.10$. - Para $x = 3$: $f(3) = \ln(3+2) = \ln(5) \approx 1.61$. 2. **Función $g(x) = \frac{1}{2}(x-3)$:** - Es una recta con pendiente positiva $m = 1/2$. - Para $x = 1$: $g(1) = \frac{1}{2}(1-3) = -1$. - Para $x = 3$: $g(3) = \frac{1}{2}(3-3) = 0$. Observamos que en el intervalo $[1, 3]$, la función $f(x)$ es siempre positiva y $g(x)$ es negativa o cero, por lo que **la gráfica de $f$ está por encima de la de $g$**. El recinto queda delimitado por estas dos curvas y las verticales $x=1$ y $x=3$.

A continuación, se muestra la representación gráfica de las funciones y el área comprendida entre ellas:

**(b) [1,5 puntos] Determina el área del recinto anterior.** El área $A$ del recinto limitado por dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en un intervalo $[a, b]$ viene dada por la integral de la función "techo" menos la función "suelo". Como hemos visto que $f(x) \gt g(x)$ en el intervalo $[1, 3]$: $$A = \int_{1}^{3} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{1}^{3} \left( \ln(x+2) - \frac{1}{2}(x-3) \right) \, dx$$ Por la propiedad de linealidad de la integral, podemos separarla en dos: $$A = \int_{1}^{3} \ln(x+2) \, dx - \int_{1}^{3} \frac{1}{2}(x-3) \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre identifica qué función está por encima de la otra en el intervalo de integración para asegurar que el área sea positiva.

Calculamos primero $\int \ln(x+2) \, dx$ utilizando el método de **integración por partes**. Hacemos el cambio: - $u = \ln(x+2) \implies du = \frac{1}{x+2} dx$ - $dv = dx \implies v = x$ Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int \ln(x+2) \, dx = x \ln(x+2) - \int \frac{x}{x+2} \, dx$$ Para resolver la integral racional, sumamos y restamos 2 en el numerador: $$\int \frac{x}{x+2} \, dx = \int \frac{x+2-2}{x+2} \, dx = \int \left( 1 - \frac{2}{x+2} \right) \, dx = x - 2 \ln(x+2)$$ Sustituyendo de nuevo: $$\int \ln(x+2) \, dx = x \ln(x+2) - (x - 2 \ln(x+2)) = (x+2) \ln(x+2) - x + C$$ 💡 **Tip:** Para integrar logaritmos, el método de partes con $dv = dx$ es casi siempre el camino correcto.

Calculamos ahora la integral de la función $g(x)$: $$\int \frac{1}{2}(x-3) \, dx = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} - 3x \right) = \frac{x^2}{4} - \frac{3x}{2} + C$$ O de forma más directa manteniendo el binomio: $$\int \frac{1}{2}(x-3) \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x-3)^2}{2} = \frac{(x-3)^2}{4} + C$$

Aplicamos la Regla de Barrow al intervalo $[1, 3]$ para cada parte: 1. **Parte de $f(x)$:** $$\left[ (x+2) \ln(x+2) - x \right]_1^3 = (5 \ln 5 - 3) - (3 \ln 3 - 1) = 5 \ln 5 - 3 \ln 3 - 2$$ 2. **Parte de $g(x)$:** $$\left[ \frac{(x-3)^2}{4} \right]_1^3 = \left( \frac{(3-3)^2}{4} \right) - \left( \frac{(1-3)^2}{4} \right) = 0 - \frac{4}{4} = -1$$ Calculamos el área total: $$A = (5 \ln 5 - 3 \ln 3 - 2) - (-1) = 5 \ln 5 - 3 \ln 3 - 1$$ Calculando el valor numérico aproximado: $A \approx 5(1.609) - 3(1.098) - 1 \approx 8.047 - 3.296 - 1 = 3.751 \text{ u}^2$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 5 \ln 5 - 3 \ln 3 - 1 \approx 3.75 \text{ unidades cuadradas}}$$