Análisis 2019 Andalucia
Análisis de una función exponencial con parámetros
Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (x - a)e^x$.
**(a) [1,25 puntos]** Determina $a$ sabiendo que la función tiene un punto crítico en $x = 0$.
**(b) [1,25 puntos]** Para $a = 1$, calcula los puntos de inflexión de la gráfica de $f$.
Paso 1
Derivación y cálculo del parámetro a
**(a) [1,25 puntos] Determina $a$ sabiendo que la función tiene un punto crítico en $x = 0$.**
Un punto crítico de una función derivable es un punto donde su primera derivada se anula. Por tanto, debemos imponer la condición $f'(0) = 0$.
Primero, calculamos la derivada de $f(x) = (x - a)e^x$ utilizando la regla del producto:
$$f'(x) = (x - a)' e^x + (x - a) (e^x)'$$
$$f'(x) = 1 \cdot e^x + (x - a)e^x$$
$$f'(x) = (1 + x - a)e^x$$
Ahora, evaluamos en $x = 0$ e igualamos a cero:
$$f'(0) = (1 + 0 - a)e^0 = (1 - a) \cdot 1 = 1 - a$$
$$1 - a = 0 \implies a = 1$$
💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. En este caso $u = x-a$ y $v = e^x$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{a = 1}$$
Paso 2
Segunda derivada para el estudio de la curvatura
**(b) [1,25 puntos] Para $a = 1$, calcula los puntos de inflexión de la gráfica de $f$.**
Para $a = 1$, la función y su primera derivada (calculada en el apartado anterior) son:
$$f(x) = (x - 1)e^x$$
$$f'(x) = (1 + x - 1)e^x = xe^x$$
Los puntos de inflexión se encuentran entre los candidatos que anulan la segunda derivada, $f''(x) = 0$, siempre que haya un cambio de curvatura en ellos. Calculamos $f''(x)$ derivando $f'(x)$:
$$f''(x) = (x)' e^x + x (e^x)' = 1 \cdot e^x + x e^x = (1 + x)e^x$$
Igualamos la segunda derivada a cero:
$$(1 + x)e^x = 0$$
Como la función exponencial nunca es nula ($e^x \neq 0$ para todo $x$), la única solución es:
$$1 + x = 0 \implies x = -1$$
💡 **Tip:** Un punto de inflexión es un punto de la gráfica donde la función pasa de ser cóncava a convexa o viceversa. Se localiza buscando las raíces de la segunda derivada.
Paso 3
Análisis del signo de la segunda derivada y punto de inflexión
Para confirmar que $x = -1$ es un punto de inflexión, analizamos el signo de $f''(x)$ a ambos lados de este valor:
$$\begin{array}{c|ccc}
x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,+\infty)\\\hline
1+x & - & 0 & +\\
e^x & + & + & +\\\hline
f''(x) & - & 0 & +
\end{array}$$
- En $(-\infty, -1)$, $f''(x) < 0$, luego la función es **cóncava (hacia abajo)**.
- En $(-1, +\infty)$, $f''(x) > 0$, luego la función es **convexa (hacia arriba)**.
Al existir un cambio de signo en $f''(x)$, confirmamos que en $x = -1$ hay un **punto de inflexión**.
Calculamos la ordenada del punto sustituyendo en $f(x)$:
$$f(-1) = (-1 - 1)e^{-1} = -2e^{-1} = -\frac{2}{e}$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P.I. \left( -1, -\frac{2}{e} \right)}$$