Puntos equidistantes a planos y posición relativa de rectas

**(a) [1,25 puntos] Halla los puntos de la recta $r$ que equidistan de los planos $\pi_{1}$ y $\pi_{2}$.** Para trabajar con puntos genéricos de la recta $r$, lo más cómodo es pasar la ecuación continua a su forma paramétrica. La recta viene dada por: $$r \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 1}{1}$$ Igualamos cada fracción a un parámetro $\lambda$: $$\begin{cases} x - 2 = -\lambda \\ y - 2 = 3\lambda \\ z - 1 = \lambda \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2 - \lambda \\ y = 2 + 3\lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$ Cualquier punto $P$ de la recta $r$ tiene la forma $P(2 - \lambda, 2 + 3\lambda, 1 + \lambda)$. 💡 **Tip:** Las ecuaciones paramétricas permiten expresar todas las coordenadas de un punto de la recta en función de una única variable, facilitando la resolución de condiciones geométricas.

La distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0$ viene dada por: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Calculamos las distancias de $P(2 - \lambda, 2 + 3\lambda, 1 + \lambda)$ a los planos $\pi_1 \equiv x = 0$ y $\pi_2 \equiv y = 0$: - $d(P, \pi_1) = \frac{|2 - \lambda|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = |2 - \lambda|$ - $d(P, \pi_2) = \frac{|2 + 3\lambda|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = |2 + 3\lambda|$ Igualamos ambas distancias para imponer la equidistancia: $$|2 - \lambda| = |2 + 3\lambda|$$

Para resolver la ecuación $|2 - \lambda| = |2 + 3\lambda|$, planteamos los dos casos posibles: **Caso 1: Los contenidos del valor absoluto tienen el mismo signo** $$2 - \lambda = 2 + 3\lambda \implies 4\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ Si $\lambda = 0$, el punto es: $$P_1(2 - 0, 2 + 3(0), 1 + 0) = \mathbf{(2, 2, 1)}$$ **Caso 2: Los contenidos tienen signo contrario** $$2 - \lambda = -(2 + 3\lambda) \implies 2 - \lambda = -2 - 3\lambda \implies 2\lambda = -4 \implies \lambda = -2$$ Si $\lambda = -2$, el punto es: $$P_2(2 - (-2), 2 + 3(-2), 1 + (-2)) = (4, 2 - 6, -1) = \mathbf{(4, -4, -1)}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{P_1(2, 2, 1) \text{ y } P_2(4, -4, -1)}$$

**(b) [1,25 puntos] Determina la posición relativa de la recta $r$ y la recta intersección de los planos $\pi_{1}$ y $\pi_{2}$.** Llamemos $s$ a la recta intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$. Sus ecuaciones implícitas son: $$s \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$$ Esta recta es el eje $Z$. Para trabajar con ella, extraemos un punto $Q$ y su vector director $\vec{v}_s$: - Punto de $s$: $Q(0, 0, 0)$ - Vector director $\vec{v}_s$: Como es la intersección de $x=0$ (normal $\vec{n}_1=(1,0,0)$) e $y=0$ (normal $\vec{n}_2=(0,1,0)$), su vector director es el producto vectorial de ambos: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** La recta intersección de dos planos tiene como vector director el producto vectorial de los vectores normales a dichos planos.

Resumimos los elementos de ambas rectas: - Recta $r$: Punto $A(2, 2, 1)$, Vector $\vec{v}_r(-1, 3, 1)$. - Recta $s$: Punto $Q(0, 0, 0)$, Vector $\vec{v}_s(0, 0, 1)$. Creamos el vector $\vec{QA}$ que une puntos de ambas rectas: $$\vec{QA} = A - Q = (2, 2, 1)$$ Estudiamos el rango de la matriz $M = (\vec{v}_r, \vec{v}_s)$ y la matriz ampliada $M' = (\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{QA})$: 1. **Rango de $M$:** $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Como los vectores $(-1, 3, 1)$ y $(0, 0, 1)$ no son proporcionales, el **rango de $M$ es 2**. Las rectas no son ni paralelas ni coincidentes. 2. **Rango de $M'$:** Calculamos el determinante de $M' = (\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{QA})$: $$|M'| = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la segunda columna (que tiene dos ceros): $$|M'| = -1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -1 \cdot [(-1)\cdot 2 - 2\cdot 3] = -1 \cdot (-2 - 6) = -1 \cdot (-8) = 8$$ Como $|M'| \neq 0$, el **rango de $M'$ es 3**. 💡 **Tip:** Si Rango($M$)=2 y Rango($M'$)=3, los vectores directores y el vector unión son linealmente independientes, lo que significa que las rectas están en planos diferentes y no se cortan. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$