Cálculo de matrices con condiciones de conmutatividad y determinante

Para que dos matrices conmuten, el resultado de multiplicarlas en ambos órdenes debe ser el mismo. Calculamos primero ambos productos: $$AX = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot a + (-1) \cdot c & 0 \cdot b + (-1) \cdot d \\ 1 \cdot a + 0 \cdot c & 1 \cdot b + 0 \cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -c & -d \\ a & b \end{pmatrix}$$ $$XA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot 0 + b \cdot 1 & a \cdot (-1) + b \cdot 0 \\ c \cdot 0 + d \cdot 1 & c \cdot (-1) + d \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b & -a \\ d & -c \end{pmatrix}$$ Igualando los elementos de las matrices resultantes $AX = XA$: 1. $-c = b \implies \mathbf{c = -b}$ 2. $-d = -a \implies \mathbf{a = d}$ 3. $a = d$ (ya obtenida) 4. $b = -c$ (ya obtenida) 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices se sigue la regla de fila por columna. Dos matrices son iguales si coinciden todos sus elementos en la misma posición.

El enunciado nos indica que la suma de los elementos de la diagonal principal es 1: $$a + d = 1$$ Sustituimos la relación hallada en el paso anterior ($a = d$): $$a + a = 1 \implies 2a = 1 \implies \mathbf{a = \frac{1}{2}}$$ Dado que $a = d$, tenemos también: $$\mathbf{d = \frac{1}{2}}$$ Nuestra matriz $X$ tiene ahora esta forma: $$X = \begin{pmatrix} 1/2 & b \\ -b & 1/2 \end{pmatrix}$$

Se nos indica que el determinante de $X$ debe ser igual a 1: $$\det(X) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc = 1$$ Sustituimos los valores conocidos ($a = 1/2$, $d = 1/2$, $c = -b$): $$\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) - b(-b) = 1$$ $$\frac{1}{4} + b^2 = 1$$ Despejamos $b^2$: $$b^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ Por tanto, $b$ puede tomar dos valores: $$b = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 💡 **Tip:** Al resolver una ecuación del tipo $x^2 = k$, no olvides considerar tanto la raíz positiva como la negativa: $x = \pm \sqrt{k}$.

A partir de los dos valores posibles de $b$, obtenemos los correspondientes valores de $c$ usando $c = -b$: **Caso 1:** Si $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$, entonces $c = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $$X_1 = \begin{pmatrix} 1/2 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1/2 \end{pmatrix}$$ **Caso 2:** Si $b = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, entonces $c = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $$X_2 = \begin{pmatrix} 1/2 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 1/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1/2 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1/2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad X = \begin{pmatrix} 1/2 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 1/2 \end{pmatrix}}$$