Cálculo de una primitiva con cambio de variable

Para hallar la primitiva $F(x)$ de la función $f(x)$, debemos calcular la integral indefinida: $$F(x) = \int \frac{1 + e^x}{1 - e^x} \, dx$$ Siguiendo la sugerencia del enunciado, realizamos el cambio de variable $t = e^x$. Para ello, calculamos la relación entre los diferenciales: $$t = e^x \implies dt = e^x \, dx \implies dx = \frac{dt}{e^x} = \frac{dt}{t}$$ Sustituyendo en la integral, obtenemos una función racional en $t$: $$\int \frac{1 + t}{1 - t} \cdot \frac{dt}{t} = \int \frac{1 + t}{t(1 - t)} \, dt$$ 💡 **Tip:** Cuando una integral involucra términos en $e^x$, el cambio $t=e^x$ suele simplificar la expresión a una integral racional.

La integral obtenida es una integral racional donde el grado del numerador es menor que el del denominador. Descomponemos la fracción en suma de fracciones simples: $$\frac{1 + t}{t(1 - t)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1 - t}$$ Para hallar $A$ y $B$, igualamos los numeradores: $$1 + t = A(1 - t) + Bt$$ - Si $t = 0$: $1 + 0 = A(1 - 0) \implies \mathbf{A = 1}$ - Si $t = 1$: $1 + 1 = B(1) \implies \mathbf{B = 2}$ Por tanto: $$\frac{1 + t}{t(1 - t)} = \frac{1}{t} + \frac{2}{1 - t}$$ 💡 **Tip:** El método de descomposición en fracciones simples es fundamental cuando tenemos un cociente de polinomios y el denominador se puede factorizar.

Calculamos la integral de cada término por separado: $$\int \left( \frac{1}{t} + \frac{2}{1 - t} \right) dt = \int \frac{1}{t} \, dt + \int \frac{2}{1 - t} \, dt$$ Integrando (recordando que la derivada de $1-t$ es $-1$): $$\ln|t| - 2\ln|1 - t| + C$$ Deshacemos el cambio de variable volviendo a $t = e^x$: $$F(x) = \ln(e^x) - 2\ln|1 - e^x| + C = x - 2\ln|1 - e^x| + C$$ Dado que el dominio de la función es $(0, +\infty)$, sabemos que $x > 0$, por lo que $e^x > 1$. Esto implica que $1 - e^x < 0$, de modo que $|1 - e^x| = e^x - 1$. Así: $$F(x) = x - 2\ln(e^x - 1) + C$$ 💡 **Tip:** No olvides la constante de integración $C$ al resolver la integral indefinida.

El enunciado nos pide la primitiva que pasa por el punto $(1, 1)$, lo que significa que $F(1) = 1$. Sustituimos estos valores en la expresión de $F(x)$: $$1 = 1 - 2\ln(e^1 - 1) + C$$ $$1 = 1 - 2\ln(e - 1) + C$$ Despejamos $C$: $$C = 2\ln(e - 1)$$ Finalmente, sustituimos $C$ en la expresión general de la primitiva: $$F(x) = x - 2\ln(e^x - 1) + 2\ln(e - 1)$$ Podemos simplificar la expresión usando las propiedades de los logaritmos: $$F(x) = x + 2[\ln(e - 1) - \ln(e^x - 1)] = x + 2\ln\left(\frac{e - 1}{e^x - 1}\right)$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = x - 2\ln(e^x - 1) + 2\ln(e - 1)}$$