Estudio de asíntotas y monotonía de una función racional

**(a) [1,5 puntos] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$.** Las asíntotas verticales (AV) suelen encontrarse en los puntos que no pertenecen al dominio de la función. En este caso, el enunciado indica que $x \neq -1$. Comprobamos el límite cuando $x \to -1$: $$\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 3x + 4}{2x + 2} = \frac{(-1)^2 + 3(-1) + 4}{2(-1) + 2} = \frac{1 - 3 + 4}{0} = \frac{2}{0} = \pm\infty$$ Para precisar el comportamiento, calculamos los límites laterales: - Por la izquierda: $\displaystyle \lim_{x \to -1^-} \frac{x^2 + 3x + 4}{2x + 2} = \frac{2}{0^-} = -\infty$ - Por la derecha: $\displaystyle \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2 + 3x + 4}{2x + 2} = \frac{2}{0^+} = +\infty$ 💡 **Tip:** Si el límite de una función en un punto es infinito, existe una asíntota vertical en ese valor de $x$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -1 \text{ es una asíntota vertical}}$$

Buscamos el comportamiento de la función en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 3x + 4}{2x + 2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{2x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{2} = \pm\infty$$ Como el límite es infinito, **no existen asíntotas horizontales**. 💡 **Tip:** En funciones racionales $P(x)/Q(x)$, si el grado de $P(x)$ es mayor que el de $Q(x)$, no hay asíntota horizontal.

Dado que el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, existe una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 4}{x(2x + 2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 4}{2x^2 + 2x} = \frac{1}{2}$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3x + 4}{2x + 2} - \frac{1}{2}x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 4 - x(x + 1)}{2x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 4 - x^2 - x}{2x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 4}{2x + 2} = 1$$ 💡 **Tip:** También puedes hallar la asíntota oblicua realizando la división polinómica del numerador entre el denominador; el cociente resultante es la ecuación de la recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = \frac{1}{2}x + 1 \text{ es una asíntota oblicua}}$$

**(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.** Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x + 3)(2x + 2) - 2(x^2 + 3x + 4)}{(2x + 2)^2}$$ Desarrollamos el numerador: $$f'(x) = \frac{4x^2 + 4x + 6x + 6 - 2x^2 - 6x - 8}{(2x + 2)^2} = \frac{2x^2 + 4x - 2}{(2x + 2)^2}$$ Podemos simplificar factorizando un 2: $$f'(x) = \frac{2(x^2 + 2x - 1)}{(2x + 2)^2}$$ 💡 **Tip:** Para la monotonía, sólo nos interesa el signo de $f'(x)$. Como el denominador está al cuadrado, siempre es positivo en el dominio, por lo que el signo depende exclusivamente del numerador.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$2(x^2 + 2x - 1) = 0 \implies x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$$ Los puntos críticos son $x_1 = -1 - \sqrt{2} \approx -2,41$ y $x_2 = -1 + \sqrt{2} \approx 0,41$. Además, debemos tener en cuenta el punto de discontinuidad $x = -1$. Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1-\sqrt{2}) & -1-\sqrt{2} & (-1-\sqrt{2}, -1) & -1 & (-1, -1+\sqrt{2}) & -1+\sqrt{2} & (-1+\sqrt{2}, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -1-\sqrt{2})$, tomamos $x = -3$: $f'(-3) = \frac{2(9 - 6 - 1)}{+} > 0$ (Creciente). - En $(-1-\sqrt{2}, -1)$, tomamos $x = -2$: $f'(-2) = \frac{2(4 - 4 - 1)}{+} < 0$ (Decreciente). - En $(-1, -1+\sqrt{2})$, tomamos $x = 0$: $f'(0) = \frac{2(0 + 0 - 1)}{+} < 0$ (Decreciente). - En $(-1+\sqrt{2}, +\infty)$, tomamos $x = 1$: $f'(1) = \frac{2(1 + 2 - 1)}{+} > 0$ (Creciente). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Creciente en: } (-\infty, -1-\sqrt{2}) \cup (-1+\sqrt{2}, +\infty) \\ & \text{Decreciente en: } (-1-\sqrt{2}, -1) \cup (-1, -1+\sqrt{2}) \end{aligned}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\frac{x^2 + 3x + 4}{2x + 2}", "color": "#2563eb" }, { "id": "av", "latex": "x = -1", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "ao", "latex": "y = 0.5x + 1", "color": "#16a34a", "lineStyle": "DASHED" } ], "bounds": { "left": -10, "right": 10, "bottom": -10, "top": 10 } } }