Geometría en el espacio: Plano que contiene a una recta y recta perpendicular

**(a) [1 punto] Calcula la ecuación general del plano que pasa por $P$ y contiene a $r$.** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores que no sean paralelos, o bien un punto y un vector normal. A partir de la ecuación continua de la recta $r \equiv \frac{x-0}{2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{-1}$, identificamos: - Un punto de la recta: $R(0, 3, 2)$ - El vector director de la recta: $\vec{v}_r = (2, 2, -1)$ Como el plano $\pi$ debe contener a la recta $r$, contendrá al punto $R$ y tendrá como primer vector director a $\vec{v}_r$. Al contener también al punto $P(-5, 3, 1)$, podemos obtener un segundo vector director uniendo $P$ con $R$: $$\vec{PR} = R - P = (0 - (-5), 3 - 3, 2 - 1) = (5, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que un plano contenga a una recta, el vector director de la recta y el vector formado por un punto de la recta y el punto exterior deben ser linealmente independientes.

El vector normal $\vec{n}$ del plano se obtiene mediante el producto vectorial de sus dos vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{PR}$: $$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 5 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{n} = [ (2 \cdot 1) - (-1 \cdot 0) ] \vec{i} - [ (2 \cdot 1) - (-1 \cdot 5) ] \vec{j} + [ (2 \cdot 0) - (2 \cdot 5) ] \vec{k}$$ $$\vec{n} = 2\vec{i} - (2 + 5)\vec{j} + (0 - 10)\vec{k} = (2, -7, -10)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos vectores originales, ideal para ser el vector normal del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

Con el vector normal $\vec{n}(2, -7, -10)$, la ecuación del plano es de la forma: $$2x - 7y - 10z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $P(-5, 3, 1)$: $$2(-5) - 7(3) - 10(1) + D = 0$$ $$-10 - 21 - 10 + D = 0 \implies -41 + D = 0 \implies D = 41$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{2x - 7y - 10z + 41 = 0}$$

**(b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta que pasa por $P$ y corta perpendicularmente a $r$.** Para que la recta $s$ pase por $P$ y corte perpendicularmente a $r$, debemos encontrar el punto de corte $Q$ en la recta $r$. La estrategia consiste en: 1. Hallar un plano auxiliar $\pi'$ que pase por $P$ y sea perpendicular a la recta $r$. 2. Calcular el punto de intersección $Q$ entre la recta $r$ y el plano $\pi'$. 3. La recta buscada $s$ será la que pase por $P$ y $Q$. El plano $\pi'$ tiene como vector normal el vector director de la recta $r$, es decir, $\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_r = (2, 2, -1)$. Su ecuación es: $$2x + 2y - z + D' = 0$$ Como pasa por $P(-5, 3, 1)$: $$2(-5) + 2(3) - (1) + D' = 0 \implies -10 + 6 - 1 + D' = 0 \implies D' = 5$$ El plano es $\pi' \equiv 2x + 2y - z + 5 = 0$.

Expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas para sustituir en el plano: $$r \equiv \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = 3 + 2\lambda \\ z = 2 - \lambda \end{cases}$$ Sustituimos en la ecuación de $\pi'$: $$2(2\lambda) + 2(3 + 2\lambda) - (2 - \lambda) + 5 = 0$$ $$4\lambda + 6 + 4\lambda - 2 + \lambda + 5 = 0$$ $$9\lambda + 9 = 0 \implies \lambda = -1$$ Calculamos las coordenadas de $Q$ sustituyendo $\lambda = -1$ en las paramétricas de $r$: $$x_Q = 2(-1) = -2$$ $$y_Q = 3 + 2(-1) = 1$$ $$z_Q = 2 - (-1) = 3$$ $$Q(-2, 1, 3)$$ 💡 **Tip:** El punto $Q$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre la recta $r$.

La recta $s$ pasa por $P(-5, 3, 1)$ y $Q(-2, 1, 3)$. Su vector director $\vec{v}_s$ será: $$\vec{v}_s = \vec{PQ} = Q - P = (-2 - (-5), 1 - 3, 3 - 1) = (3, -2, 2)$$ Usando el punto $P$ y el vector $\vec{v}_s$, escribimos la ecuación continua de la recta: ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{s \equiv \frac{x + 5}{3} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 1}{2}}$$