Sistema de ecuaciones homogéneo con parámetros

**(a) [1,5 puntos] Encuentra los valores de $a$ para los que el sistema dado por $AX = 2X$ tiene infinitas soluciones.** Primero, reescribimos la ecuación matricial $AX = 2X$ para obtener la forma estándar de un sistema de ecuaciones lineales. Restamos $2X$ en ambos lados: $$AX - 2X = 0$$ $$AX - 2IX = 0 \implies (A - 2I)X = 0$$ donde $I$ es la matriz identidad de orden 3 y $0$ es la matriz columna nula. Calculamos la matriz de coeficientes $M = A - 2I$: $$M = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-2 & 1 & 1 \\ 1 & a-2 & 1 \\ 1 & 1 & a-2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para poder sacar factor común la $X$ a la derecha, el término $2X$ debe escribirse como $2IX$, ya que no se puede restar un número escalar directamente de una matriz.

El sistema $(A - 2I)X = 0$ es un **sistema homogéneo**. Un sistema homogéneo siempre es compatible (tiene al menos la solución trivial $x=y=z=0$). Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, para que un sistema homogéneo tenga infinitas soluciones (sea un Sistema Compatible Indeterminado), el rango de la matriz de coeficientes $M$ debe ser menor que el número de incógnitas ($n=3$). Esto ocurre cuando el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero: $$|M| = \begin{vmatrix} a-2 & 1 & 1 \\ 1 & a-2 & 1 \\ 1 & 1 & a-2 \end{vmatrix} = 0$$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo $MX=0$ tiene infinitas soluciones si y solo si $|M|=0$.

Calculamos el determinante de $M$ aplicando la regla de Sarrus: $$|M| = (a-2)^3 + 1 + 1 - [ (a-2) + (a-2) + (a-2) ]$$ $$|M| = (a-2)^3 + 2 - 3(a-2)$$ Para facilitar el cálculo, llamamos $k = a-2$: $$k^3 - 3k + 2 = 0$$ Buscamos las raíces del polinomio por Ruffini o tanteo. Observamos que $k=1$ es raíz: $$1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$$ Dividiendo por $(k-1)$ obtenemos: $$(k-1)(k^2 + k - 2) = 0$$ Las raíces de $k^2 + k - 2 = 0$ son: $$k = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies k=1, k=-2$$ Deshacemos el cambio $k = a-2$: 1. Si $k = 1 \implies a - 2 = 1 \implies a = 3$ 2. Si $k = -2 \implies a - 2 = -2 \implies a = 0$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 3, \quad a = 0}$$

**(b) [1 punto] Para $a = 0$, si es posible, resuelve $AX = 2X$.** Sustituimos $a=0$ en la matriz $M = A - 2I$ obtenida en el apartado anterior: $$M = \begin{pmatrix} 0-2 & 1 & 1 \\ 1 & 0-2 & 1 \\ 1 & 1 & 0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ El sistema es: $$\begin{cases} -2x + y + z = 0 \\ x - 2y + z = 0 \\ x + y - 2z = 0 \end{cases}$$ Como vimos en el apartado (a), para $a=0$ el determinante es cero ($|M|=0$). Buscamos el rango de $M$ mediante un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0 \implies \text{rango}(M) = 2$$ Como $\text{rango}(M) = 2 < 3$ (nº incógnitas), el sistema tiene infinitas soluciones con $3 - 2 = 1$ grado de libertad (usaremos un parámetro $\lambda$).

Seleccionamos las dos primeras ecuaciones (que son linealmente independientes al pertenecer al menor de orden 2 no nulo) y pasamos una variable al otro lado como parámetro. Sea $z = \lambda$: $$\begin{cases} -2x + y = -\lambda \\ x - 2y = -\lambda \end{cases}$$ Resolvemos, por ejemplo, sumando las dos ecuaciones tras multiplicar la segunda por 2: $$-2x + y = -\lambda$$ $$2x - 4y = -2\lambda$$ Sumando: $-3y = -3\lambda \implies y = \lambda$ Sustituimos $y = \lambda$ en la segunda ecuación: $$x - 2(\lambda) = -\lambda \implies x = 2\lambda - \lambda \implies x = \lambda$$ Las soluciones son de la forma: $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, \lambda, \lambda) \text{ para } \lambda \in \mathbb{R}}$$