Área entre las funciones seno y coseno

**(a) [1 punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.** Para hallar los puntos de corte entre $f(x) = \cos(x)$ y $g(x) = \text{sen}(x)$, igualamos ambas funciones: $$\cos(x) = \text{sen}(x)$$ Dividiendo ambos miembros por $\cos(x)$ (siempre que $\cos(x) \neq 0$): $$\frac{\text{sen}(x)}{\cos(x)} = 1 \implies \tan(x) = 1$$ Buscamos los valores de $x$ en el intervalo $[-\pi, \pi]$ cuya tangente sea $1$: 1. En el primer cuadrante: $x = \frac{\pi}{4}$ 2. En el tercer cuadrante: $x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$ Calculamos las ordenadas correspondientes: - Para $x = \frac{\pi}{4} \implies y = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ - Para $x = -\frac{3\pi}{4} \implies y = \cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ 💡 **Tip:** Recuerda que la función tangente tiene periodo $\pi$, por lo que las soluciones generales son $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$. En el intervalo $[-\pi, \pi]$, solo $k=0$ y $k=-1$ son válidas. Los puntos de corte son: $$\boxed{P_1\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right), \quad P_2\left(-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}$$

Utilizamos las gráficas conocidas de las funciones trigonométricas en el intervalo $[-\pi, \pi]$. La función coseno empieza en $(0,1)$, mientras que el seno empieza en $(0,0)$. Identificamos los puntos de corte calculados anteriormente para delimitar la región que se nos pedirá en el apartado siguiente. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\cos(x)", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x)=\\sin(x)", "color": "#ef4444" }, { "id": "c1", "latex": "(-3\\pi/4, -\\sqrt{2}/2)", "showLabel": true, "label": "P2" }, { "id": "c2", "latex": "(\\pi/4, \\sqrt{2}/2)", "showLabel": true, "label": "P1" } ], "bounds": { "left": -3.5, "right": 3.5, "bottom": -1.5, "top": 1.5 } } }

**(b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto delimitado por las gráficas de $f$ y de $g$ en el intervalo $\left[ -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right]$.** El área entre dos curvas se calcula como la integral de la función "techo" menos la función "suelo". Para determinar qué función está por encima en el intervalo $\left[ -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right]$, tomamos un punto intermedio, por ejemplo $x = 0$: - $f(0) = \cos(0) = 1$ - $g(0) = \text{sen}(0) = 0$ Como $1 > 0$, entonces $f(x) \ge g(x)$ en todo el intervalo. El área $A$ es: $$A = \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\cos(x) - \text{sen}(x)) \, dx$$ 💡 **Tip:** Si las funciones se cortaran dentro del intervalo de integración, deberíamos dividir la integral en varios recintos usando el valor absoluto.

Calculamos la integral indefinida: $$\int (\cos(x) - \text{sen}(x)) \, dx = \text{sen}(x) - (-\cos(x)) = \text{sen}(x) + \cos(x)$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$A = [\text{sen}(x) + \cos(x)]_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}$$ Calculamos los valores en los extremos: 1. Superior: $\text{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ 2. Inferior: $\text{sen}\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + \cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2}$ Operamos: $$A = (\sqrt{2}) - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 2\sqrt{2} \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\cos(x)", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x)=\\sin(x)", "color": "#ef4444" }, { "id": "reg", "latex": "\\sin(x) \\le y \\le \\cos(x) \\{-3\\pi/4 \\le x \\le \\pi/4 \\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -3.5, "right": 3.5, "bottom": -1.5, "top": 1.5 } } }