Cálculo de parámetros en una función polinómica

Para resolver este ejercicio, debemos extraer las condiciones que imponen los datos del enunciado sobre la función $f(x)$ y sus derivadas. Dada la función $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$, calculamos su primera y segunda derivada: 1. $f'(x) = 6x^2 + 2ax + b$ 2. $f''(x) = 12x + 2a$ **Condiciones del enunciado:** - **Punto de inflexión en $x = 1$:** Esto implica que la segunda derivada se anula en ese punto, es decir, $f''(1) = 0$. - **Recta tangente en $x = 1$ es $y = -6x + 6$:** De aquí obtenemos dos datos fundamentales: - La pendiente de la tangente en $x=1$ es $m = -6$. Por definición de derivada, esto significa que $f'(1) = -6$. - El punto de tangencia $(1, f(1))$ pertenece tanto a la curva como a la recta tangente. Por tanto, la ordenada $f(1)$ coincide con el valor de la recta en $x=1$. 💡 **Tip:** Recuerda que si una función es derivable dos veces, la condición necesaria para un punto de inflexión es $f''(x) = 0$.

Utilizamos la condición del punto de inflexión en $x = 1$: $$f''(1) = 0$$ Sustituyendo en la expresión de $f''(x) = 12x + 2a$: $$12(1) + 2a = 0 \implies 12 + 2a = 0$$ Despejamos $a$: $$2a = -12 \implies a = -6$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{a = -6}$$

Utilizamos la información de la pendiente de la recta tangente en $x = 1$. La ecuación de la recta es $y = -6x + 6$, por lo que su pendiente es $m = -6$. Sabemos que $f'(1) = -6$. Sustituimos en la expresión $f'(x) = 6x^2 + 2ax + b$ con el valor de $a = -6$ que acabamos de hallar: $$f'(1) = 6(1)^2 + 2(-6)(1) + b = -6$$ Operamos: $$6 - 12 + b = -6 \implies -6 + b = -6$$ Despejamos $b$: $$b = -6 + 6 \implies b = 0$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{b = 0}$$

Para hallar $c$, necesitamos el valor de la función en $x = 1$. Como el punto $(1, f(1))$ está en la recta tangente $y = -6x + 6$, calculamos su ordenada: $$y(1) = -6(1) + 6 = 0 \implies f(1) = 0$$ Sustituimos $x = 1$, $a = -6$ y $b = 0$ en la función original $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$: $$f(1) = 2(1)^3 + (-6)(1)^2 + 0(1) + c = 0$$ Operamos: $$2 - 6 + c = 0 \implies -4 + c = 0$$ Despejamos $c$: $$c = 4$$ 💡 **Tip:** En un punto de tangencia $x=x_0$, siempre se cumple que la función y la recta tangente pasan por el mismo punto: $f(x_0) = y_{tangente}(x_0)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -6, \quad b = 0, \quad c = 4}$$