Posiciones relativas de recta y plano y cálculo de distancias

**(a) [0,5 puntos] Calcula el valor de $k$ para que $r$ sea paralela a $\pi$.** Para que una recta $r$ sea paralela a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Identificamos los elementos: - Vector director de $r$: $\vec{v}_r = (k, 3 + k, -2k)$ - Vector normal de $\pi$: $\vec{n}_\pi = (-1, 2, 2)$ La condición de perpendicularidad entre vectores es que su producto escalar sea cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$$ $$(k, 3 + k, -2k) \cdot (-1, 2, 2) = 0$$ $$-k + 2(3 + k) + 2(-2k) = 0$$ $$-k + 6 + 2k - 4k = 0$$ $$-3k + 6 = 0 \implies 3k = 6 \implies k = 2$$ 💡 **Tip:** Si el producto escalar es cero, la recta puede ser paralela o estar contenida en el plano. Para asegurar que es paralela, comprobamos si el punto $P(2, -2, -1)$ de la recta pertenece al plano sustituyendo en su ecuación: $-2 + 2(-2) + 2(-1) - 1 = -9 \neq 0$. Como no pertenece, la recta es estrictamente paralela. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 2}$$

**(b) [0,5 puntos] Calcula el valor de $k$ para que $r$ sea perpendicular a $\pi$.** Para que la recta $r$ sea perpendicular al plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe tener la misma dirección que el vector normal $\vec{n}_\pi$. Es decir, deben ser proporcionales: $$\vec{v}_r = \lambda \vec{n}_\pi$$ $$(k, 3 + k, -2k) = \lambda (-1, 2, 2)$$ Esto nos genera un sistema de ecuaciones: 1) $k = -\lambda$ 2) $3 + k = 2\lambda$ 3) $-2k = 2\lambda \implies -k = \lambda$ (esta es equivalente a la primera) Sustituimos $k = -\lambda$ en la segunda ecuación: $$3 + (-\lambda) = 2\lambda$$ $$3 = 3\lambda \implies \lambda = 1$$ Si $\lambda = 1$, entonces $k = -1$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que dos vectores sean paralelos (recta perpendicular al plano), sus coordenadas deben ser proporcionales: $\frac{k}{-1} = \frac{3+k}{2} = \frac{-2k}{2}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = -1}$$

**(c) [1,5 puntos] Para $k = -1$, calcula los puntos de $r$ que distan 3 unidades de $\pi$.** Primero, obtenemos el vector director de $r$ para $k = -1$: $$\vec{v}_r = (-1, 3 + (-1), -2(-1)) = (-1, 2, 2)$$ Escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que pasa por $P(2, -2, -1)$: $$\begin{cases} x = 2 - \lambda \\ y = -2 + 2\lambda \\ z = -1 + 2\lambda \end{cases}$$ Un punto genérico $Q$ de la recta tiene la forma $Q(2 - \lambda, -2 + 2\lambda, -1 + 2\lambda)$.

La distancia de un punto $Q(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es: $$d(Q, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos las coordenadas de $Q$ y los coeficientes de $\pi$ ($-x + 2y + 2z - 1 = 0$): $$d(Q, \pi) = \frac{|-(2 - \lambda) + 2(-2 + 2\lambda) + 2(-1 + 2\lambda) - 1|}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2}}$$ $$d(Q, \pi) = \frac{|-2 + \lambda - 4 + 4\lambda - 2 + 4\lambda - 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|9\lambda - 9|}{3}$$ Simplificamos la expresión: $$d(Q, \pi) = \frac{3|3\lambda - 3|}{3} = |3\lambda - 3|$$ 💡 **Tip:** Ten cuidado con el valor absoluto, siempre genera dos posibles soluciones al resolver la ecuación de distancia.

Igualamos la distancia a 3 unidades: $$|3\lambda - 3| = 3 \implies |\lambda - 1| = 1$$ Esto nos da dos casos: **Caso 1:** $\lambda - 1 = 1 \implies \lambda = 2$ Sustituimos en las paramétricas de $r$: $$x = 2 - 2 = 0$$ $$y = -2 + 2(2) = 2$$ $$z = -1 + 2(2) = 3$$ Obtenemos el punto **$Q_1(0, 2, 3)$**. **Caso 2:** $\lambda - 1 = -1 \implies \lambda = 0$ Sustituimos en las paramétricas de $r$: $$x = 2 - 0 = 2$$ $$y = -2 + 0 = -2$$ $$z = -1 + 0 = -1$$ Obtenemos el punto **$Q_2(2, -2, -1)$** (que coincide con el punto $P$ dado). ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q_1(0, 2, 3) \text{ y } Q_2(2, -2, -1)}$$