Propiedades de los determinantes

**(a) [1,75 puntos] Calcula, indicando las propiedades que utilices, los determinantes de las matrices siguientes: $3A$ y $\begin{pmatrix} 2a & d + 3a & g \\ 2b & e + 3b & h \\ 2c & f + 3c & i \end{pmatrix}$.** Para calcular $|3A|$, utilizamos la propiedad del determinante de una matriz multiplicada por un número real. Si $A$ es una matriz de orden $n$ y $k$ es un escalar, entonces: $$|k \cdot A| = k^n \cdot |A|$$ En este caso, la matriz $A$ es de orden $3$ ($n=3$) y el escalar es $k=3$. Dado que $|A| = 5$, tenemos: $$|3A| = 3^3 \cdot |A| = 27 \cdot 5 = 135$$ 💡 **Tip:** No confundas $|k \cdot A|$ con $k \cdot |A|$. Al multiplicar una matriz por un número, todas sus filas se multiplican por ese número, y por cada fila multiplicada, el determinante queda multiplicado una vez por dicho número. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|3A| = 135}$$

Para calcular el determinante de $M = \begin{pmatrix} 2a & d + 3a & g \\ 2b & e + 3b & h \\ 2c & f + 3c & i \end{pmatrix}$, observamos que sus elementos están relacionados con los de la matriz $A^T$ (la traspuesta de $A$): $$A^T = \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix}$$ Sabemos que el determinante de una matriz es igual al de su traspuesta: $|A^T| = |A| = 5$. Aplicamos las propiedades paso a paso sobre el determinante de la matriz pedida: 1. **Factor común en una columna:** Si todos los elementos de una columna están multiplicados por un número, este puede salir fuera del determinante. Multiplicamos la primera columna por $1/2$ (o sacamos el 2 fuera): $$\begin{vmatrix} 2a & d + 3a & g \\ 2b & e + 3b & h \\ 2c & f + 3c & i \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} a & d + 3a & g \\ b & e + 3b & h \\ c & f & i \end{vmatrix}$$ 2. **Suma de columnas:** El determinante no varía si a una columna se le suma otra multiplicada por un número real. Realizamos la operación $C_2 \to C_2 - 3C_1$: $$2 \cdot \begin{vmatrix} a & d + 3a & g \\ b & e + 3b & h \\ c & f & i \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{vmatrix}$$ La matriz resultante es exactamente $A^T$. 3. **Sustitución final:** Como $|A^T| = |A| = 5$: $$2 \cdot |A^T| = 2 \cdot 5 = 10$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{vmatrix} 2a & d + 3a & g \\ 2b & e + 3b & h \\ 2c & f + 3c & i \end{vmatrix} = 10}$$

**(b) [0,75 puntos] Si $B$ es otra matriz cuadrada de orden 3 y tiene determinante 4, calcula, indicando también las propiedades que utilices, el determinante de la matriz $BA^{-1}$.** Para resolver este apartado, utilizaremos dos propiedades fundamentales de los determinantes: 1. **Determinante del producto:** El determinante del producto de dos matrices cuadradas es el producto de sus determinantes: $$|B \cdot A^{-1}| = |B| \cdot |A^{-1}|$$ 2. **Determinante de la matriz inversa:** El determinante de la matriz inversa es el recíproco del determinante de la matriz original (siempre que $|A| \neq 0$): $$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$$ Sustituimos los valores conocidos ($|B| = 4$ y $|A| = 5$): $$|BA^{-1}| = |B| \cdot \frac{1}{|A|} = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5} = 0,8$$ 💡 **Tip:** Estas propiedades son muy potentes porque permiten calcular determinantes de operaciones complejas sin necesidad de conocer los elementos individuales de las matrices. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|BA^{-1}| = \frac{4}{5} = 0,8}$$