Cálculo de primitivas de una función racional

**(a) [2 puntos] Halla todas las funciones primitivas de $f$.** Para hallar las funciones primitivas de $f(x) = \frac{x^4}{x^2 - 1}$, debemos calcular la integral indefinida: $$F(x) = \int \frac{x^4}{x^2 - 1} \, dx$$ Como el grado del numerador (4) es mayor que el grado del denominador (2), primero realizamos la división polinómica. Podemos observar que: $$x^4 = (x^4 - 1) + 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) + 1$$ Dividiendo toda la expresión por $x^2 - 1$, obtenemos: $$\frac{x^4}{x^2 - 1} = x^2 + 1 + \frac{1}{x^2 - 1}$$ 💡 **Tip:** Siempre que el grado del numerador sea mayor o igual al del denominador en una integral racional, el primer paso es realizar la división de polinomios.

Ahora debemos descomponer la fracción restante $\frac{1}{x^2 - 1}$ en fracciones simples. Factorizamos el denominador: $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ Planteamos la descomposición: $$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$$ Multiplicando por el denominador común: $$1 = A(x+1) + B(x-1)$$ Calculamos los valores de $A$ y $B$ dando valores a $x$: - Si $x = 1 \implies 1 = A(2) \implies A = \frac{1}{2}$ - Si $x = -1 \implies 1 = B(-2) \implies B = -\frac{1}{2}$ Por tanto: $$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}$$

Sustituimos la descomposición en la integral original: $$F(x) = \int \left( x^2 + 1 + \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1} \right) dx$$ Integramos término a término: $$F(x) = \frac{x^3}{3} + x + \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{2} \ln|x+1| + C$$ Podemos simplificar los logaritmos usando la propiedad $\ln a - \ln b = \ln(a/b)$: $$F(x) = \frac{x^3}{3} + x + \frac{1}{2} \ln\left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{F(x) = \dfrac{x^3}{3} + x + \dfrac{1}{2} \ln\left| \dfrac{x-1}{x+1} \right| + C}$$

**(b) [0,5 puntos] Calcula la primitiva que pasa por $(2, 0)$.** Buscamos la función $F(x)$ tal que $F(2) = 0$. Utilizamos la expresión hallada en el apartado anterior: $$0 = \frac{2^3}{3} + 2 + \frac{1}{2} \ln\left| \frac{2-1}{2+1} \right| + C$$ $$0 = \frac{8}{3} + 2 + \frac{1}{2} \ln\left( \frac{1}{3} \right) + C$$ $$0 = \frac{14}{3} + \frac{1}{2} (\ln 1 - \ln 3) + C$$ Como $\ln 1 = 0$: $$0 = \frac{14}{3} - \frac{1}{2} \ln 3 + C \implies C = \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{14}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las coordenadas $(x_0, y_0)$ de un punto por el que pasa la gráfica de una función implican que $F(x_0) = y_0$.

Sustituimos el valor de la constante $C$ en la expresión general: $$F(x) = \frac{x^3}{3} + x + \frac{1}{2} \ln\left| \frac{x-1}{x+1} \right| + \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{14}{3}$$ Podemos agrupar los términos constantes o los logaritmos si se desea, pero esta forma es perfectamente válida. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{F(x) = \dfrac{x^3}{3} + x + \dfrac{1}{2} \ln\left| \dfrac{x-1}{x+1} \right| + \dfrac{1}{2} \ln 3 - \dfrac{14}{3}}$$