Geometría en el espacio: Rectángulo y equidistancia

Para trabajar con puntos genéricos de la recta $r$, primero la expresamos en su forma paramétrica igualando la ecuación continua a un parámetro $\lambda$: $$\frac{x+2}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3} = \lambda$$ De aquí despejamos cada coordenada: $$\begin{cases} x = -2 + \lambda \\ y = 2 + 2\lambda \\ z = 3 + 3\lambda \end{cases}$$ Cualquier punto genérico $P$ perteneciente a la recta $r$ tendrá la forma: $$P(\lambda - 2, 2\lambda + 2, 3\lambda + 3)$$ 💡 **Tip:** Las ecuaciones paramétricas son fundamentales en geometría para representar cualquier punto de una recta en función de una sola variable, facilitando la resolución de problemas de distancias e incidencias.

**(a) Halla un punto $C$ de $r$ de forma que el triángulo $ABC$ sea rectángulo en $A$.** Para que el triángulo sea rectángulo en el vértice $A$, los vectores que parten de ese punto, $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$, deben ser perpendiculares. Esto implica que su **producto escalar debe ser cero**: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$$ Calculamos el vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (2 - 0, 3 - (-1), -1 - 3) = (2, 4, -4)$$ Calculamos el vector $\vec{AC}$ usando el punto genérico $C(\lambda - 2, 2\lambda + 2, 3\lambda + 3)$ de la recta $r$: $$\vec{AC} = C - A = ((\lambda - 2) - 0, (2\lambda + 2) - (-1), (3\lambda + 3) - 3)$$ $$\vec{AC} = (\lambda - 2, 2\lambda + 3, 3\lambda)$$

Planteamos la ecuación $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$: $$(2, 4, -4) \cdot (\lambda - 2, 2\lambda + 3, 3\lambda) = 0$$ $$2(\lambda - 2) + 4(2\lambda + 3) - 4(3\lambda) = 0$$ $$2\lambda - 4 + 8\lambda + 12 - 12\lambda = 0$$ $$-2\lambda + 8 = 0 \implies 2\lambda = 8 \implies \lambda = 4$$ Sustituimos $\lambda = 4$ en las coordenadas del punto genérico $C$: $$C(4 - 2, 2(4) + 2, 3(4) + 3) = C(2, 10, 15)$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{C(2, 10, 15)}$$

**(b) Calcula los puntos de $r$ que equidistan de los puntos $A$ y $B$.** Buscamos un punto $P$ de la recta $r$ tal que su distancia a $A$ sea igual a su distancia a $B$: $d(P, A) = d(P, B)$. Para facilitar los cálculos, igualaremos los cuadrados de las distancias: $$d(P, A)^2 = d(P, B)^2$$ Utilizamos el punto genérico $P(\lambda - 2, 2\lambda + 2, 3\lambda + 3)$. Calculamos $d(P, A)^2$: $$d(P, A)^2 = (\lambda - 2 - 0)^2 + (2\lambda + 2 - (-1))^2 + (3\lambda + 3 - 3)^2$$ $$d(P, A)^2 = (\lambda - 2)^2 + (2\lambda + 3)^2 + (3\lambda)^2$$ $$d(P, A)^2 = (\lambda^2 - 4\lambda + 4) + (4\lambda^2 + 12\lambda + 9) + 9\lambda^2 = 14\lambda^2 + 8\lambda + 13$$ Calculamos $d(P, B)^2$: $$d(P, B)^2 = (\lambda - 2 - 2)^2 + (2\lambda + 2 - 3)^2 + (3\lambda + 3 - (-1))^2$$ $$d(P, B)^2 = (\lambda - 4)^2 + (2\lambda - 1)^2 + (3\lambda + 4)^2$$ $$d(P, B)^2 = (\lambda^2 - 8\lambda + 16) + (4\lambda^2 - 4\lambda + 1) + (9\lambda^2 + 24\lambda + 16) = 14\lambda^2 + 12\lambda + 33$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia entre dos puntos $P(x_1, y_1, z_1)$ y $Q(x_2, y_2, z_2)$ es $d(P, Q) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

Igualamos ambas expresiones cuadráticas: $$14\lambda^2 + 8\lambda + 13 = 14\lambda^2 + 12\lambda + 33$$ Los términos cuadráticos se cancelan: $$8\lambda + 13 = 12\lambda + 33$$ $$13 - 33 = 12\lambda - 8\lambda$$ $$-20 = 4\lambda \implies \lambda = -5$$ Finalmente, calculamos las coordenadas de $P$ sustituyendo $\lambda = -5$: $$P(-5 - 2, 2(-5) + 2, 3(-5) + 3) = P(-7, -8, -12)$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(-7, -8, -12)}$$