Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros

**(a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores de $m$.** En primer lugar, expresamos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} m & 0 & m+1 \\ 0 & m & 1 \\ 0 & 1 & m \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} m & 0 & m+1 & | & m \\ 0 & m & 1 & | & m \\ 0 & 1 & m & | & m \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de colocar un $0$ en los coeficientes de las variables que no aparecen en cada ecuación (en este caso, falta la $y$ en la primera y la $x$ en las otras dos).

Calculamos el determinante de $A$ para hallar los valores críticos de $m$ que hacen que el rango de $A$ sea menor que $3$. $$|A| = \begin{vmatrix} m & 0 & m+1 \\ 0 & m & 1 \\ 0 & 1 & m \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera columna (o mediante la regla de Sarrus): $$|A| = m \cdot \begin{vmatrix} m & 1 \\ 1 & m \end{vmatrix} - 0 + 0 = m(m^2 - 1)$$ Igualamos a cero para encontrar las raíces: $$m(m^2 - 1) = 0 \implies m(m - 1)(m + 1) = 0$$ Los valores críticos son: **$m = 0$**, **$m = 1$** y **$m = -1$**. $$\boxed{|A| = m(m-1)(m+1)}$$

Para cualquier valor de $m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, -1\}$, se cumple que $|A| \neq 0$. En este caso: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que $3$ y contiene a $A$) - Número de incógnitas $= 3$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una solución única. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 0, 1, -1 \implies \text{Sistema Compatible Determinado}}$$

Sustituimos $m = 0$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$$ Observamos las filas: - La fila 1 y la fila 2 son idénticas ($F_1 = F_2$). - La fila 3 es $(0, 1, 0 | 0)$, que es linealmente independiente de las anteriores. Por tanto: - $\text{rango}(A) = 2$ (las filas 2 y 3 son independientes). - $\text{rango}(A^*) = 2$ (la columna de términos independientes es nula, no aporta rango). Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$ (nº incógnitas), por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m = 0 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado}}$$

Sustituimos $m = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la fila 2 y la fila 3 son idénticas ($F_2 = F_3$). Por tanto: - $\text{rango}(A) = 2$ (las filas 1 y 2 son claramente independientes). - $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m = 1 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado}}$$

Sustituimos $m = -1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & | & -1 \\ 0 & -1 & 1 & | & -1 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \end{pmatrix}$$ Analizamos los rangos: - En la matriz $A$, la fila 3 es opuesta a la fila 2 ($F_3 = -F_2$), por lo que $\text{rango}(A) = 2$. - Sin embargo, al sumar las filas 2 y 3 en la matriz ampliada: $$(0, -1, 1 | -1) + (0, 1, -1 | -1) = (0, 0, 0 | -2)$$ Esto indica que la última columna es independiente. Por tanto: - $\text{rango}(A) = 2$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\begin{aligned} &m \neq 0, 1, -1: \text{ SCD} \\ &m = 0, m = 1: \text{ SCI} \\ &m = -1: \text{ SI} \end{aligned}}$$

**(b) [0,75 puntos] Resuélvelo, si es posible, para $m = 1$.** Como vimos en el apartado anterior, para $m = 1$ el sistema es Compatible Indeterminado. El sistema simplificado (eliminando la fila redundante) es: $$\begin{cases} x + 2z = 1 \\ y + z = 1 \end{cases}$$ Para resolverlo, tomamos $z$ como parámetro libre, $z = \lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$. Despejamos $x$ de la primera ecuación: $$x = 1 - 2z \implies x = 1 - 2\lambda$$ Despejamos $y$ de la segunda ecuación: $$y = 1 - z \implies y = 1 - \lambda$$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2 y 3 incógnitas, siempre debemos usar un parámetro (normalmente $\lambda$) para expresar la infinitud de soluciones. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{(x, y, z) = (1 - 2\lambda, 1 - \lambda, \lambda) \text{ para } \lambda \in \mathbb{R}}$$