Cálculo de un parámetro mediante el área de un recinto

La función dada es $f(x) = -4x^2 + a$, con $a \gt 0$. Se trata de una **parábola** que abre hacia abajo (coeficiente de $x^2$ negativo) y cuyo vértice está en $(0, a)$. Para delimitar el recinto, buscamos los puntos de corte con el eje $X$ (recta $y = 0$): $$-4x^2 + a = 0 \implies 4x^2 = a \implies x^2 = \frac{a}{4} \implies x = \pm\frac{\sqrt{a}}{2}$$ Los puntos de corte son $x_1 = -\frac{\sqrt{a}}{2}$ y $x_2 = \frac{\sqrt{a}}{2}$. Dado que $a \gt 0$, la función está por encima del eje $X$ en el intervalo $[-\frac{\sqrt{a}}{2}, \frac{\sqrt{a}}{2}]$. 💡 **Tip:** Recuerda que para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas, simplemente igualamos la función a cero.

El área $A$ del recinto viene dada por la integral definida de la función entre sus puntos de corte. Aprovechando que la función es **par** ($f(x) = f(-x)$), el recinto es simétrico respecto al eje $Y$: $$A = \int_{-\frac{\sqrt{a}}{2}}^{\frac{\sqrt{a}}{2}} (-4x^2 + a) \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\sqrt{a}}{2}} (-4x^2 + a) \, dx$$ 💡 **Tip:** El uso de la simetría simplifica los cálculos al evaluar el límite inferior en cero.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (-4x^2 + a) \, dx = -\frac{4x^3}{3} + ax$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[0, \frac{\sqrt{a}}{2}]$: $$A = 2 \left[ -\frac{4x^3}{3} + ax \right]_{0}^{\frac{\sqrt{a}}{2}}$$ $$A = 2 \left[ \left( -\frac{4}{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{a}}{2}\right)^3 + a \cdot \frac{\sqrt{a}}{2} \right) - (0) \right]$$ Operamos con las potencias: $$A = 2 \left( -\frac{4}{3} \cdot \frac{a\sqrt{a}}{8} + \frac{a\sqrt{a}}{2} \right) = 2 \left( -\frac{a\sqrt{a}}{6} + \frac{a\sqrt{a}}{2} \right)$$ $$A = 2 \left( \frac{-a\sqrt{a} + 3a\sqrt{a}}{6} \right) = 2 \left( \frac{2a\sqrt{a}}{6} \right) = \frac{2a\sqrt{a}}{3}$$ Como $a\sqrt{a} = a^{3/2}$, el área en función de $a$ es: $$\boxed{A = \frac{2a^{3/2}}{3}}$$

Igualamos el resultado obtenido al valor del área proporcionado por el enunciado ($A = 18$): $$\frac{2a^{3/2}}{3} = 18$$ Despejamos $a^{3/2}$: $$2a^{3/2} = 18 \cdot 3 \implies 2a^{3/2} = 54 \implies a^{3/2} = 27$$ Para hallar $a$, elevamos ambos miembros a $2/3$: $$a = 27^{2/3} = \sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2$$ $$a = 3^2 = 9$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 9}$$