Cálculo de parámetros de una función racional con asíntotas y tangentes

**Determina $a, b$ y $c$ sabiendo que la recta $x = -1$ es una asíntota vertical a la gráfica de $f$ y que $y = 2x + 4$ es la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.** En las funciones racionales del tipo $\frac{P(x)}{Q(x)}$, las asíntotas verticales se encuentran en los valores de $x$ que anulan el denominador (siempre que no anulen simultáneamente al numerador). Dado que $x = -1$ es una asíntota vertical, el denominador $cx + 1$ debe ser igual a cero cuando sustituimos $x = -1$: $$c(-1) + 1 = 0 \implies -c + 1 = 0 \implies c = 1.$$ De este modo, la función queda definida como: $$f(x) = \frac{ax + b}{x + 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $x=k$ es una asíntota vertical, entonces $\lim_{x \to k} f(x) = \pm \infty$. En funciones fraccionarias, esto ocurre cuando el denominador es cero.

La recta tangente en $x = 1$ es $y = 2x + 4$. Esto implica que la función $f(x)$ y la recta tangente comparten el mismo punto en $x = 1$. Calculamos la ordenada del punto de tangencia sustituyendo $x = 1$ en la ecuación de la recta: $$y = 2(1) + 4 = 6.$$ Por tanto, el punto de tangencia es $(1, 6)$, lo que significa que $f(1) = 6$. Sustituimos en la expresión de la función: $$f(1) = \frac{a(1) + b}{1 + 1} = 6 \implies \frac{a + b}{2} = 6 \implies a + b = 12.$$ Obtenemos nuestra primera ecuación: $$\mathbf{a + b = 12} \quad (1)$$ 💡 **Tip:** La recta tangente $y = mx + n$ toca a la curva en el punto $(x_0, f(x_0))$, por lo que $f(x_0) = m x_0 + n$.

La pendiente de la recta tangente $y = 2x + 4$ es $m = 2$. Por definición, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en $x = 1$ es el valor de su derivada en dicho punto: $f'(1) = 2$. Primero, calculamos la derivada de $f(x) = \frac{ax + b}{x + 1}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{a \cdot (x + 1) - (ax + b) \cdot 1}{(x + 1)^2}$$ Simplificamos el numerador: $$f'(x) = \frac{ax + a - ax - b}{(x + 1)^2} = \frac{a - b}{(x + 1)^2}$$ Ahora, igualamos la derivada en $x = 1$ a la pendiente $2$: $$f'(1) = \frac{a - b}{(1 + 1)^2} = 2 \implies \frac{a - b}{4} = 2 \implies a - b = 8.$$ Obtenemos nuestra segunda ecuación: $$\mathbf{a - b = 8} \quad (2)$$ 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Aquí $u = ax+b$ y $v = x+1$.

Para hallar $a$ y $b$, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2): $$\begin{cases} a + b = 12 \\ a - b = 8 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar $b$: $$(a + b) + (a - b) = 12 + 8 \implies 2a = 20 \implies a = 10.$$ Sustituimos $a = 10$ en la primera ecuación: $$10 + b = 12 \implies b = 2.$$ Por tanto, los valores son $a=10$ y $b=2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 10, \, b = 2, \, c = 1}$$ La función es $f(x) = \frac{10x + 2}{x + 1}$.