Geometría: Plano perpendicular y distancia entre recta y plano

**(a) [1,25 puntos] Halla la ecuación general del plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$.** En primer lugar, extraemos los elementos característicos de la recta $r$ y del plano $\pi$ dados en el enunciado. De la recta $r \equiv \frac{x-4}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{5}$, obtenemos: - Un punto de la recta: $P_r(4, 0, 1)$ - Su vector director: $\vec{d_r} = (2, 1, 5)$ Del plano $\pi \equiv 2x + y - z + 3 = 0$, obtenemos su vector normal: - $\vec{n_\pi} = (2, 1, -1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua de la recta $\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(u_1, u_2, u_3)$. En el plano $Ax+By+Cz+D=0$, el vector normal es $(A, B, C)$.

Llamemos $\pi'$ al plano que buscamos. Para determinar su ecuación general, necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y un vector normal). Como el plano $\pi'$ debe cumplir: 1. **Contener a la recta $r$**: Entonces contiene al punto $P_r(4, 0, 1)$ y el vector $\vec{d_r} = (2, 1, 5)$ es paralelo al plano. 2. **Ser perpendicular a $\pi$**: Entonces el vector normal de $\pi$, $\vec{n_\pi} = (2, 1, -1)$, es paralelo al plano $\pi'$. Por tanto, el vector normal de $\pi'$, que llamaremos $\vec{n_{\pi'}}$, se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores directores del plano: $\vec{d_r}$ y $\vec{n_\pi}$. $$\vec{n_{\pi'}} = \vec{d_r} \times \vec{n_\pi}$$

Calculamos el producto vectorial utilizando un determinante resuelto por Sarrus: $$\vec{n_{\pi'}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n_{\pi'}} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos cada determinante $2 \times 2$: - Componente $\vec{i}$: $(1)(-1) - (1)(5) = -1 - 5 = -6$ - Componente $\vec{j}$: $(2)(-1) - (2)(5) = -2 - 10 = -12$ - Componente $\vec{k}$: $(2)(1) - (2)(1) = 2 - 2 = 0$ $$\vec{n_{\pi'}} = -6\vec{i} - (-12)\vec{j} + 0\vec{k} = (-6, 12, 0)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional como vector normal: **$\vec{v} = (-1, 2, 0)$** (dividiendo por $6$).

Utilizamos el vector normal $\vec{v} = (-1, 2, 0)$ y el punto $P_r(4, 0, 1)$ en la ecuación general del plano $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$: $$-1(x - 4) + 2(y - 0) + 0(z - 1) = 0$$ $$-x + 4 + 2y = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener una expresión más estándar: $$x - 2y - 4 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi' \equiv x - 2y - 4 = 0}$$

**(b) [1,25 puntos] Calcula la distancia entre $r$ y $\pi$.** Antes de aplicar fórmulas, debemos comprobar la posición relativa entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Calculamos el producto escalar entre el vector director de la recta $\vec{d_r}$ y el normal del plano $\vec{n_\pi}$: $$\vec{d_r} \cdot \vec{n_\pi} = (2, 1, 5) \cdot (2, 1, -1) = 2(2) + 1(1) + 5(-1) = 4 + 1 - 5 = 0$$ Como el producto escalar es **0**, el vector director es perpendicular al normal, lo que significa que la recta es **paralela al plano o está contenida en él**. Comprobamos si el punto $P_r(4, 0, 1)$ pertenece al plano $\pi \equiv 2x + y - z + 3 = 0$: $$2(4) + (0) - (1) + 3 = 8 - 1 + 3 = 10 \neq 0$$ Como el punto no satisface la ecuación, la recta es estrictamente **paralela** al plano. La distancia entre ellos es constante e igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano. 💡 **Tip:** Si el producto escalar fuera distinto de cero, la recta y el plano se cortarían y la distancia sería cero.

Calculamos $d(r, \pi) = d(P_r, \pi)$ usando la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$: $$d(P_r, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores de $P_r(4, 0, 1)$ y el plano $\pi \equiv 2x + y - z + 3 = 0$: $$d(r, \pi) = \frac{|2(4) + 1(0) - 1(1) + 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}}$$ $$d(r, \pi) = \frac{|8 + 0 - 1 + 3|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{10}{\sqrt{6}}$$ Racionalizamos multiplicando numerador y denominador por $\sqrt{6}$: $$d(r, \pi) = \frac{10\sqrt{6}}{6} = \frac{5\sqrt{6}}{3} \approx 4.08 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \pi) = \dfrac{5\sqrt{6}}{3} \text{ u}}$$