Rango de una matriz y discusión de un sistema con parámetros

**(a) [1,5 puntos] Estudia el rango de $A$ según los valores de $m$.** Para estudiar el rango de la matriz $A$, calculamos primero su determinante en función del parámetro $m$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & m & 1 \\ m - 1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot m \cdot 1) + (m \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot (m - 1) \cdot 1) - (1 \cdot m \cdot 1) - (1 \cdot 0 \cdot 1) - (m \cdot (m - 1) \cdot 1)$$ Operamos los términos: $$|A| = m + 0 + m - 1 - m - 0 - (m^2 - m)$$ $$|A| = m - 1 - m^2 + m = -m^2 + 2m - 1$$ Factorizamos el polinomio resultante: $$|A| = -(m^2 - 2m + 1) = -(m - 1)^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el rango de una matriz $3 \times 3$ será 3 si su determinante es distinto de cero.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-(m - 1)^2 = 0 \implies m - 1 = 0 \implies m = 1$$ Analizamos los casos posibles: * **Caso 1: $m \neq 1$** Si $m \neq 1$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de la matriz es igual a su orden. **Rango($A$) = 3** * **Caso 2: $m = 1$** Si $m = 1$, el determinante es $|A| = 0$, por lo que el rango es menor que 3. Sustituimos $m = 1$ en la matriz: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la fila 1 y la fila 3 son iguales ($F_1 = F_3$), por lo que el rango es como máximo 2. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1 \neq 0$$ **Rango($A$) = 2** ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 1, \text{rg}(A)=3; \text{ si } m=1, \text{rg}(A)=2}$$

**(b) [1 punto] Sabiendo que para $m = 1$ el sistema $AX = B$ tiene solución, encuentra $k$ y resuélvelo, siendo $B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ k \end{pmatrix}$.** Para $m = 1$, el sistema en forma matricial es: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ k \end{pmatrix}$$ La matriz ampliada $(A|B)$ es: $$(A|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k \end{array} \right)$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, para que el sistema tenga solución, el rango de la matriz de coeficientes $A$ debe ser igual al rango de la matriz ampliada $(A|B)$. Sabemos que para $m=1$, $\text{rg}(A) = 2$. Para que $\text{rg}(A|B) = 2$, el determinante de cualquier submatriz $3 \times 3$ de $(A|B)$ debe ser cero. En particular, al comparar la primera y tercera fila: - Fila 1: $x + y + z = 0$ - Fila 3: $x + y + z = k$ Para que no sea un sistema incompatible (ecuaciones contradictorias), es necesario que: $$\boxed{k = 0}$$ 💡 **Tip:** En este caso, al ser la fila 1 y 3 de la matriz $A$ idénticas, para que el rango de la ampliada no aumente a 3, sus términos independientes deben mantener la misma relación.

Con $k = 0$, el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones) porque $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas). El sistema se reduce a las dos primeras ecuaciones (ya que la tercera es idéntica a la primera): 1) $x + y + z = 0$ 2) $y = 1$ Sustituimos $y = 1$ en la primera ecuación: $$x + 1 + z = 0 \implies x + z = -1 \implies x = -1 - z$$ Para dar la solución general, tomamos $z$ como parámetro, por ejemplo $z = \lambda$ con $\lambda \in \mathbb{R}$: - $x = -1 - \lambda$ - $y = 1$ - $z = \lambda$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{k = 0; \quad (x, y, z) = (-1 - \lambda, 1, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$