Área entre una función a trozos y una recta

**(a) [1,5 puntos] Calcula los puntos de corte entre la gráfica de $f$ y la recta $y = 2x - 4$. Esboza el recinto que delimitan la gráfica de $f$ y la recta.** Para hallar los puntos de corte igualamos $f(x)$ con la recta $g(x) = 2x - 4$ en cada una de sus ramas: **Rama 1 ($x \le 4$):** $$-x^2 + 6x - 8 = 2x - 4 \implies -x^2 + 4x - 4 = 0 \implies x^2 - 4x + 4 = 0$$ $$(x - 2)^2 = 0 \implies x = 2$$ Como $2 \le 4$, el punto es válido. La ordenada es $y = 2(2) - 4 = 0$. Punto: **$(2, 0)$**. **Rama 2 ($x > 4$):** $$x^2 - 6x + 8 = 2x - 4 \implies x^2 - 8x + 12 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2} \implies x_1 = 6, \; x_2 = 2$$ Como estamos en el intervalo $x > 4$, solo aceptamos **$x = 6$**. La ordenada es $y = 2(6) - 4 = 8$. Punto: **$(6, 8)$**. 💡 **Tip:** Al resolver intersecciones en funciones a trozos, comprueba siempre que la solución obtenida pertenece al dominio de definición de esa rama específica. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(2, 0) \text{ y } (6, 8)}$$

Para esbozar el recinto, analizamos los elementos clave de la función $f(x)$: 1. **Rama 1 ($x \le 4$):** Parábola con ramas hacia abajo. Su vértice está en $x = -6 / (2 \cdot (-1)) = 3$, con $f(3) = 1$. Corta al eje $X$ en $x=2$ y $x=4$. 2. **Rama 2 ($x > 4$):** Parábola con ramas hacia arriba. Su vértice estaría en $x=3$ (fuera de su dominio). En $x=4$ vale $0$ y crece a partir de ahí. 3. **Recta $y = 2x - 4$:** Pasa por $(2,0)$ y $(6,8)$. El recinto está delimitado superiormente por la recta $g(x) = 2x-4$ en todo el intervalo $[2, 6]$, ya que la recta queda por encima de las parábolas en ese tramo. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\{x \\le 4: -x^2 + 6x - 8, x > 4: x^2 - 6x + 8\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x) = 2x - 4", "color": "#ef4444" }, { "id": "reg", "latex": "f(x) \\le y \\le g(x) \\{2 \\le x \\le 6\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": 0, "right": 8, "bottom": -2, "top": 10 } } }

**(b) [1 punto] Calcula el área del recinto anterior.** El área se calcula integrando la diferencia entre la función superior (la recta) y la inferior (la función $f(x)$) entre los puntos de corte $x=2$ y $x=6$. Dado que $f(x)$ cambia su definición en $x=4$, dividimos la integral en dos partes: $$A = \int_2^6 [g(x) - f(x)] \, dx = \int_2^4 [g(x) - f(x)] \, dx + \int_4^6 [g(x) - f(x)] \, dx$$ Sustituimos las expresiones correspondientes: - En $[2, 4]$: $g(x) - f(x) = (2x - 4) - (-x^2 + 6x - 8) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$ - En $[4, 6]$: $g(x) - f(x) = (2x - 4) - (x^2 - 6x + 8) = -x^2 + 8x - 12$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas $h(x)$ y $k(x)$ en $[a,b]$ es $\int_a^b |h(x) - k(x)| dx$. Siempre resta la función que está arriba menos la que está abajo para que el resultado sea positivo.

Calculamos la primera integral: $$A_1 = \int_2^4 (x^2 - 4x + 4) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_2^4$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$A_1 = \left( \frac{64}{3} - 2(16) + 4(4) \right) - \left( \frac{8}{3} - 2(4) + 4(2) \right)$$ $$A_1 = \left( \frac{64}{3} - 32 + 16 \right) - \left( \frac{8}{3} - 8 + 8 \right) = \left( \frac{64}{3} - 16 \right) - \frac{8}{3}$$ $$A_1 = \frac{64 - 48 - 8}{3} = \frac{8}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Podrías haber integrado $(x-2)^2$ directamente como $\frac{(x-2)^3}{3}$, lo cual simplifica los cálculos significativamente.

Calculamos la segunda integral: $$A_2 = \int_4^6 (-x^2 + 8x - 12) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4x^2 - 12x \right]_4^6$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$A_2 = \left( -\frac{216}{3} + 4(36) - 12(6) \right) - \left( -\frac{64}{3} + 4(16) - 12(4) \right)$$ $$A_2 = (-72 + 144 - 72) - \left( -\frac{64}{3} + 64 - 48 \right)$$ $$A_2 = 0 - \left( -\frac{64}{3} + 16 \right) = \frac{64}{3} - 16 = \frac{64 - 48}{3} = \frac{16}{3} \text{ u}^2$$ Finalmente, sumamos ambas áreas: $$A_{total} = A_1 + A_2 = \frac{8}{3} + \frac{16}{3} = \frac{24}{3} = 8 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área } = 8 \text{ u}^2}$$