Estudio de extremos y puntos de inflexión de una función trigonométrica

Para encontrar los máximos y mínimos relativos, primero debemos calcular la derivada de la función $f(x)$ e igualarla a cero para hallar los puntos críticos. Dada $f(x) = \text{sen}(x) + \text{cos}(x)$, derivamos respecto a $x$: $$f'(x) = \text{cos}(x) - \text{sen}(x)$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores de $x$ en el intervalo $(0, 2\pi)$: $$\text{cos}(x) - \text{sen}(x) = 0 \implies \text{sen}(x) = \text{cos}(x)$$ Dividiendo ambos miembros por $\text{cos}(x)$ (sabiendo que si $\text{cos}(x)=0$, el seno no puede ser cero, por lo que no habría solución): $$\text{tan}(x) = 1$$ En el intervalo $(0, 2\pi)$, la tangente es igual a $1$ en los cuadrantes I y III: $$x_1 = \frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las soluciones de $\text{tan}(x) = a$ se repiten cada $\pi$ radianes. Si $\text{tan}(x) = 1$, entonces $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$.

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos dentro del dominio $(0, 2\pi)$ para determinar la monotonía y los extremos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (0, \pi/4) & \pi/4 & (\pi/4, 5\pi/4) & 5\pi/4 & (5\pi/4, 2\pi) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Monotonía} & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} & \text{Mínimo} & \text{Creciente} \end{array}$$ Calculamos los valores de la función en esos puntos (ordenadas): - Para $x = \frac{\pi}{4}$: $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \text{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right) + \text{cos}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. - Para $x = \frac{5\pi}{4}$: $f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \text{sen}\left(\frac{5\pi}{4}\right) + \text{cos}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$. ✅ **Resultado (Máximos y mínimos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } \left(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right), \quad \text{Mínimo relativo en } \left(\frac{5\pi}{4}, -\sqrt{2}\right)}$$

Para hallar los puntos de inflexión, calculamos la segunda derivada de la función e igualamos a cero para encontrar los cambios de curvatura. Partimos de $f'(x) = \text{cos}(x) - \text{sen}(x)$: $$f''(x) = -\text{sen}(x) - \text{cos}(x)$$ Igualamos a cero: $$-\text{sen}(x) - \text{cos}(x) = 0 \implies \text{sen}(x) = -\text{cos}(x)$$ $$\text{tan}(x) = -1$$ En el intervalo $(0, 2\pi)$, la tangente es igual a $-1$ en los cuadrantes II y IV: $$x_3 = \frac{3\pi}{4}, \quad x_4 = \frac{7\pi}{4}$$ 💡 **Tip:** Un punto de inflexión es aquel donde la función cambia su curvatura (de cóncava a convexa o viceversa), lo cual ocurre cuando $f''(x)$ cambia de signo.

Estudiamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos definidos por los candidatos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (0, 3\pi/4) & 3\pi/4 & (3\pi/4, 7\pi/4) & 7\pi/4 & (7\pi/4, 2\pi) \\ \hline f''(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \text{Curvatura} & \cap \text{ (Cóncava)} & \text{P.I.} & \cup \text{ (Convexa)} & \text{P.I.} & \cap \text{ (Cóncava)} \end{array}$$ Calculamos los valores de la función en esos puntos: - Para $x = \frac{3\pi}{4}$: $f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \text{sen}\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \text{cos}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$. - Para $x = \frac{7\pi}{4}$: $f\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \text{sen}\left(\frac{7\pi}{4}\right) + \text{cos}\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$. Existen cambios de signo en $f''(x)$, por lo que ambos son puntos de inflexión. ✅ **Resultado (Puntos de inflexión):** $$\boxed{\text{Puntos de inflexión en } \left(\frac{3\pi}{4}, 0\right) \text{ y } \left(\frac{7\pi}{4}, 0\right)}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\sin(x)+\\cos(x)\\{0 < x < 2\\pi\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max", "latex": "(\\pi/4, \\sqrt{2})", "showLabel": true, "label": "Máximo", "color": "#ef4444" }, { "id": "min", "latex": "(5\\pi/4, -\\sqrt{2})", "showLabel": true, "label": "Mínimo", "color": "#ef4444" }, { "id": "pi1", "latex": "(3\\pi/4, 0)", "showLabel": true, "label": "P.I.", "color": "#16a34a" }, { "id": "pi2", "latex": "(7\\pi/4, 0)", "showLabel": true, "label": "P.I.", "color": "#16a34a" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 7, "bottom": -2, "top": 2 } } }