Intersección de rectas y plano paralelo

**a) [1,25 puntos] Halla $k$ sabiendo que ambas rectas se cortan en un punto.** Primero, extraemos de las ecuaciones continuas un punto y el vector director de cada recta: - **Recta $r$:** - Punto $P_r = (2, k, 0)$ - Vector director $\vec{v}_r = (1, 2, 2)$ - **Recta $s$:** - Punto $P_s = (-1, 1, 3)$ - Vector director $\vec{v}_s = (-1, 1, 1)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Para que dos rectas se corten en un punto, deben cumplir dos condiciones: 1. Sus vectores directores no deben ser proporcionales (no son paralelas ni coincidentes). 2. Deben ser coplanarias (estar en el mismo plano). Comprobamos la proporcionalidad: $\frac{1}{-1} \neq \frac{2}{1}$, por lo que las rectas **no son paralelas**. Para que sean coplanarias, el determinante formado por sus vectores directores y el vector que une un punto de cada recta debe ser cero. Definimos el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (-1 - 2, 1 - k, 3 - 0) = (-3, 1 - k, 3)$$ Planteamos la condición: $$\det(\vec{P_r P_s}, \vec{v}_r, \vec{v}_s) = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} -3 & 1-k & 3 \\ 1 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$

Desarrollamos el determinante por la primera fila: $$\det = -3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - (1 - k) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos los adjuntos: - $-3(2 \cdot 1 - 2 \cdot 1) = -3(0) = 0$ - $-(1 - k)(1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) = -(1 - k)(1 + 2) = -3(1 - k)$ - $+3(1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) = 3(1 + 2) = 9$ Sustituimos en la ecuación: $$0 - 3(1 - k) + 9 = 0 \Rightarrow -3 + 3k + 9 = 0$$ $$3k + 6 = 0 \Rightarrow 3k = -6 \Rightarrow k = -2$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{k = -2}$$

**b) [1,25 puntos] Para $k=1$, halla la ecuación general del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$.** Si un plano $\pi$ contiene a la recta $r$ y es paralelo a $s$, su vector normal $\vec{n}$ debe ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas ($\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$). Calculamos el producto vectorial: $$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \mathbf{i}(2-2) - \mathbf{j}(1-(-2)) + \mathbf{k}(1-(-2))$$ $$\vec{n} = 0\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k} = (0, -3, 3)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo entre 3: $\vec{n} = (0, -1, 1)$, o bien $\vec{n} = (0, 1, -1)$. Utilizaremos este último. 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ define la estructura de la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

Con el vector normal $\vec{n} = (0, 1, -1)$, la ecuación del plano es: $$0x + 1y - 1z + D = 0 \Rightarrow y - z + D = 0$$ Como el plano contiene a la recta $r$, debe contener a cualquier punto de ella. Usamos $P_r = (2, k, 0)$ con $k = 1$, es decir, $P_r = (2, 1, 0)$. Sustituimos el punto en la ecuación para hallar $D$: $$1 - 0 + D = 0 \Rightarrow D = -1$$ La ecuación general del plano es $y - z - 1 = 0$. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{y - z - 1 = 0}$$