Álgebra 2019 Andalucia
Cálculo de los ángulos de un triángulo mediante sistemas de ecuaciones
Para resolver este problema, definiremos primero las variables para los tres ángulos del triángulo y luego plantearemos un sistema de ecuaciones basado en la información proporcionada.
### 1. Definición de variables
Sean los ángulos del triángulo $x, y, z$, donde:
* $x$ es el ángulo menor.
* $z$ es el ángulo mayor.
* $y$ es el ángulo intermedio.
### 2. Planteamiento de las ecuaciones
Sabemos tres cosas fundamentales:
1. **La suma de los ángulos de cualquier triángulo es $180^\circ$:**
$$x + y + z = 180$$
2. **El menor de ellos es la mitad del ángulo mayor:**
$$x = \frac{z}{2} \quad \text{o equivalentemente} \quad z = 2x$$
3. **La suma del ángulo menor y el ángulo mayor es el doble del otro ángulo:**
$$x + z = 2y$$
### 3. Resolución del sistema
Podemos sustituir la relación de la segunda ecuación ($z = 2x$) en la tercera:
$$x + 2x = 2y$$
$$3x = 2y \implies y = \frac{3x}{2}$$
Ahora que tenemos tanto $z$ como $y$ expresados en función de $x$, sustituimos ambos en la primera ecuación:
$$x + \frac{3x}{2} + 2x = 180$$
Para eliminar la fracción, multiplicamos toda la ecuación por $2$:
$$2x + 3x + 4x = 360$$
$$9x = 360$$
$$x = \frac{360}{9}$$
**$x = 40^\circ$** (ángulo menor)
Ahora calculamos los otros dos ángulos usando el valor de $x$:
* Para el ángulo mayor ($z$):
$$z = 2x = 2 \cdot 40 = 80^\circ$$
* Para el ángulo intermedio ($y$):
$$y = \frac{3x}{2} = \frac{3 \cdot 40}{2} = 60^\circ$$
### 4. Verificación
* **Suma de ángulos:** $40^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 180^\circ$ (Correcto)
* **Menor es mitad del mayor:** $40^\circ$ es la mitad de $80^\circ$ (Correcto)
* **Suma del menor y mayor es doble del otro:** $40^\circ + 80^\circ = 120^\circ$, que es el doble de $60^\circ$ (Correcto)
**Respuesta:**
Los tres ángulos del triángulo son **$40^\circ, 60^\circ$ y $80^\circ$**.
Paso 1
Definición de variables
Para resolver el problema, primero asignamos una variable a cada uno de los ángulos que queremos encontrar. Al tratarse de tres ángulos diferentes, usaremos tres variables:
* $x$: medida del **ángulo menor**.
* $y$: medida del **ángulo intermedio**.
* $z$: medida del **ángulo mayor**.
💡 **Tip:** Definir claramente qué representa cada variable desde el inicio ayuda a interpretar correctamente las relaciones del enunciado.
Paso 2
Planteamiento del sistema de ecuaciones
Traducimos la información del enunciado a lenguaje algebraico:
1. **Suma de ángulos en un triángulo:** Sabemos por geometría básica que la suma de los ángulos internos siempre es $180^\circ$:
$$x + y + z = 180$$
2. **Relación entre el menor y el mayor:** El menor ($x$) es la mitad del mayor ($z$):
$$x = \frac{z}{2} \implies z = 2x$$
3. **Relación de la suma con el ángulo restante:** La suma del menor ($x$) y el mayor ($z$) es el doble del otro ($y$):
$$x + z = 2y$$
💡 **Tip:** Siempre es recomendable intentar despejar una variable en función de otra de forma sencilla (como hemos hecho con $z = 2x$) para facilitar la sustitución posterior.
Paso 3
Resolución del sistema por sustitución
Utilizamos la relación $z = 2x$ en la tercera ecuación para obtener $y$ en función de $x$:
$$x + (2x) = 2y \implies 3x = 2y \implies y = \frac{3x}{2}$$
Ahora sustituimos tanto $z$ como $y$ en la primera ecuación (la de la suma total):
$$x + \frac{3x}{2} + 2x = 180$$
Para trabajar sin fracciones, multiplicamos todos los términos de la ecuación por $2$:
$$2 \cdot x + 2 \cdot \frac{3x}{2} + 2 \cdot 2x = 2 \cdot 180$$
$$2x + 3x + 4x = 360$$
Sumamos los términos semejantes:
$$9x = 360 \implies x = \frac{360}{9} = 40$$
El valor del **ángulo menor** es **$x = 40^\circ$**.
Paso 4
Cálculo de los ángulos restantes y comprobación
Una vez hallado $x = 40^\circ$, calculamos los valores de $y$ y $z$ sustituyendo en las expresiones obtenidas anteriormente:
* **Ángulo mayor ($z$):**
$$z = 2x = 2 \cdot 40 = 80^\circ$$
* **Ángulo intermedio ($y$):**
$$y = \frac{3x}{2} = \frac{3 \cdot 40}{2} = 60^\circ$$
**Comprobación final:**
1. **Suma:** $40^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 180^\circ$. (Sí)
2. **Menor vs Mayor:** $40^\circ = 80^\circ / 2$. (Sí)
3. **Suma extremos vs doble intermedio:** $40^\circ + 80^\circ = 120^\circ$ y $2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. (Sí)
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Los ángulos son } 40^\circ, 60^\circ \text{ y } 80^\circ}$$
💡 **Tip:** En problemas de geometría con ángulos, siempre verifica que la suma sea $180^\circ$ al terminar; es el error más común.