Estudio de función exponencial e integral definida

**(a) [1,25 puntos] Calcula los puntos de corte de la gráfica de $f$ con los ejes coordenados y los extremos relativos de $f$ (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).** Primero, buscamos los puntos de intersección de la gráfica con los ejes cartesianos: * **Corte con el eje OY (abscisa $x=0$):** Calculamos $f(0)$: $$f(0) = 0 \cdot e^{-0^2} = 0 \cdot 1 = 0.$$ El punto de corte es el origen **$(0,0)$**. * **Corte con el eje OX (ordenada $y=0$):** Resolvemos la ecuación $f(x) = 0$: $$x e^{-x^2} = 0.$$ Como la función exponencial $e^{-x^2}$ nunca es cero ($e^z \gt 0$ para todo $z$), la única solución posible es: $$x = 0.$$ Por tanto, el único punto de corte con el eje de abscisas es también el origen **$(0,0)$**. ✅ **Resultado (puntos de corte):** $$\boxed{(0,0)}$$

Para encontrar los extremos relativos, calculamos la primera derivada de la función $f(x) = x e^{-x^2}$ aplicando la regla del producto y la regla de la cadena: $$f'(x) = (1) \cdot e^{-x^2} + x \cdot \left( e^{-x^2} \cdot (-2x) \right)$$ $$f'(x) = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2}$$ $$f'(x) = (1 - 2x^2) e^{-x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ y la de la exponencial $(e^{u})' = u' e^u$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies (1 - 2x^2) e^{-x^2} = 0$$ Como $e^{-x^2} \neq 0$: $$1 - 2x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos para determinar la monotonía. Como $e^{-x^2}$ es siempre positivo, el signo de $f'(x)$ depende exclusivamente de la parábola $1 - 2x^2$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) & -\frac{\sqrt{2}}{2} & (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) & \frac{\sqrt{2}}{2} & (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & -\\ \hline \text{Función} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ * Hay un **mínimo relativo** en $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. * Hay un **máximo relativo** en $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Calculamos las ordenadas (valores) sustituyendo en la función original $f(x)$: * **Para el mínimo relativo ($x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$):** $$f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-(-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-1/2} = -\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{e}} = -\frac{1}{\sqrt{2e}}$$ * **Para el máximo relativo ($x = \frac{\sqrt{2}}{2}$):** $$f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{e}} = \frac{1}{\sqrt{2e}}$$ ✅ **Resultado (extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{\sqrt{2e}}\right); \text{ Máximo relativo en } \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2e}}\right)}$$

**(b) [1,25 puntos] Determina $a > 0$ de manera que sea $\frac{1}{4}$ el área del recinto determinado por la gráfica de $f$ en el intervalo $[0, a]$ y el eje de abscisas.** Dado que $a \gt 0$ y en el intervalo $[0, a]$ la función $f(x) = x e^{-x^2}$ es positiva (ya que el máximo ocurre en $x \approx 0.707$), el área $A$ se calcula mediante la integral definida: $$A = \int_0^a x e^{-x^2} dx = \frac{1}{4}$$ Calculamos la primitiva. Observamos que es una integral casi inmediata de tipo exponencial $\int u' e^u = e^u$: $$\int x e^{-x^2} dx = -\frac{1}{2} \int -2x e^{-x^2} dx = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C$$ Aplicamos la **regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{1}{2} e^{-x^2} \right]_0^a = \left( -\frac{1}{2} e^{-a^2} \right) - \left( -\frac{1}{2} e^{0} \right)$$ $$A = -\frac{1}{2} e^{-a^2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (1 - e^{-a^2})$$ 💡 **Tip:** La regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$.

Igualamos el resultado obtenido al valor del área dado en el enunciado: $$\frac{1}{2} (1 - e^{-a^2}) = \frac{1}{4}$$ Multiplicamos por $2$ en ambos lados: $$1 - e^{-a^2} = \frac{1}{2}$$ $$e^{-a^2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ Para despejar $a$, aplicamos logaritmos naturales: $$\ln(e^{-a^2}) = \ln\left(\frac{1}{2}\right)$$ $$-a^2 = -\ln(2) \implies a^2 = \ln(2)$$ Como el enunciado especifica que $a \gt 0$: $$a = \sqrt{\ln(2)}$$ Valor aproximado: $a \approx 0.8326$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = \sqrt{\ln(2)}}$$