Continuidad y derivabilidad de una función con parámetros

Para que la función $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$, debe ser, en primer lugar, continua en el punto de unión de sus dos ramas, que es $x = 0$. Para que la función sea continua en $x = 0$, se debe cumplir que los límites laterales sean iguales al valor de la función en dicho punto: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ **Por la izquierda ($x \le 0$):** $$f(0) = \sin(0) + a(0) + b = 0 + 0 + b = b$$ $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (\sin(x) + ax + b) = b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función a trozos sea continua, el valor de las funciones en el punto de división debe coincidir para evitar un salto entre ramas.

**Por la derecha ($x \gt 0$):** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x+1)}{x}$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación de la forma $\frac{0}{0}$. Aplicamos la regla de **L'Hôpital** derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{d}{dx}(\ln(x+1))}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x+1}}{1} = \frac{1}{0+1} = 1$$ Igualando el límite por la derecha con el valor por la izquierda para asegurar la continuidad: $$\boxed{b = 1}$$ 💡 **Tip:** El límite $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ es un límite notable que surge de la definición de la derivada de $\ln(x)$ en $x=1$.

Una vez asegurada la continuidad, para que sea derivable en $x = 0$, las derivadas laterales en ese punto deben coincidir: $f'(0^-) = f'(0^+)$. **Derivada por la izquierda ($x \lt 0$):** Derivamos la primera rama: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x) + ax + b) = \cos(x) + a$$ $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (\cos(x) + a) = \cos(0) + a = 1 + a$$ 💡 **Tip:** La derivada de $\sin(x)$ es $\cos(x)$ y la derivada de una constante es cero.

**Derivada por la derecha ($x \gt 0$):** Calculamos la derivada usando la definición de derivada en un punto o el límite de la función derivada. Usando la definición: $$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{\ln(h+1)}{h} - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\ln(h+1) - h}{h^2}$$ Nuevamente, aplicamos la regla de **L'Hôpital** (indeterminación $\frac{0}{0}$): $$f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{1}{1+h} - 1}{2h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{1 - (1+h)}{1+h}}{2h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h}{2h(1+h)} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-1}{2(1+h)} = -\frac{1}{2}$$ Igualando las derivadas laterales: $$1 + a = -\frac{1}{2} \implies a = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -\frac{3}{2}, \quad b = 1}$$