Operaciones con vectores: ortogonalidad, dirección y combinación lineal

**(a) [0,75 puntos] Determina los valores de $\alpha$ y $\beta$ para los que $\vec{w}$ es ortogonal a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$.** Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es igual a cero. Por tanto, imponemos las condiciones $\vec{w} \cdot \vec{u} = 0$ y $\vec{w} \cdot \vec{v} = 0$. 1. Para $\vec{w} \perp \vec{u}$: $$(2, \alpha, \beta) \cdot (1, 2, 3) = 2(1) + \alpha(2) + \beta(3) = 2 + 2\alpha + 3\beta = 0$$ $$2\alpha + 3\beta = -2 \quad (1)$$ 2. Para $\vec{w} \perp \vec{v}$: $$(2, \alpha, \beta) \cdot (1, -2, -1) = 2(1) + \alpha(-2) + \beta(-1) = 2 - 2\alpha - \beta = 0$$ $$2\alpha + \beta = 2 \quad (2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto escalar de $\vec{a}=(a_1, a_2, a_3)$ y $\vec{b}=(b_1, b_2, b_3)$ es $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$.

Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales formado por (1) y (2): $$\begin{cases} 2\alpha + 3\beta = -2 \\ 2\alpha + \beta = 2 \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación a la primera para eliminar $\alpha$: $$(2\alpha + 3\beta) - (2\alpha + \beta) = -2 - 2$$ $$2\beta = -4 \implies \beta = -2$$ Sustituimos $\beta = -2$ en la ecuación (2): $$2\alpha + (-2) = 2 \implies 2\alpha = 4 \implies \alpha = 2$$ ✅ **Resultado (valores para ortogonalidad):** $$\boxed{\alpha = 2, \quad \beta = -2}$$

**(b) [0,75 puntos] Determina los valores de $\alpha$ y $\beta$ para los que $\vec{w}$ y $\vec{v}$ tienen la misma dirección.** Para que dos vectores tengan la misma dirección (sean paralelos), sus componentes deben ser proporcionales: $$\vec{w} = k \vec{v} \implies (2, \alpha, \beta) = k(1, -2, -1)$$ Igualamos componente a componente: 1. $2 = k \cdot 1 \implies k = 2$ 2. $\alpha = k \cdot (-2) \implies \alpha = 2(-2) = -4$ 3. $\beta = k \cdot (-1) \implies \beta = 2(-1) = -2$ 💡 **Tip:** También puedes plantearlo como la igualdad de razones: $\frac{2}{1} = \frac{\alpha}{-2} = \frac{\beta}{-1}$. ✅ **Resultado (valores para misma dirección):** $$\boxed{\alpha = -4, \quad \beta = -2}$$

**(c) [1 punto] Para $\alpha = 8$, determina el valor de $\beta$ para el que $\vec{w}$ es combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.** Si $\alpha = 8$, el vector es $\vec{w} = (2, 8, \beta)$. Para que $\vec{w}$ sea combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$, los tres vectores deben ser linealmente dependientes (estar en el mismo plano). Esto ocurre si el determinante formado por los tres vectores es igual a cero: $$\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0$$ Planteamos el determinante: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & 8 & \beta \end{vmatrix} = 0$$ 💡 **Tip:** Si tres vectores son linealmente dependientes, su determinante es 0 porque el volumen del paralelepípedo que forman es nulo.

Resolvemos el determinante mediante la regla de Sarrus: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & 8 & \beta \end{vmatrix} = [1 \cdot (-2) \cdot \beta + 2 \cdot (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 1 \cdot 8] - [2 \cdot (-2) \cdot 3 + 8 \cdot (-1) \cdot 1 + \beta \cdot 1 \cdot 2]$$ Calculamos los términos: $$= [-2\beta - 4 + 24] - [-12 - 8 + 2\beta]$$ $$= (-2\beta + 20) - (-20 + 2\beta)$$ $$= -2\beta + 20 + 20 - 2\beta = 40 - 4\beta$$ Igualamos a cero para que sean linealmente dependientes: $$40 - 4\beta = 0 \implies 4\beta = 40 \implies \beta = 10$$ ✅ **Resultado (valor para combinación lineal):** $$\boxed{\beta = 10}$$