Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

**(a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de $m$.** Para discutir el sistema utilizaremos el **teorema de Rouché-Capelli**. En primer lugar, extraemos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ m+2 & 1 & -1 \\ 3 & m+2 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 \\ m+2 & 1 & -1 & | & m \\ 3 & m+2 & 1 & | & m \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el teorema de Rouché-Capelli nos permite determinar el tipo de sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes ($A$) con el rango de la matriz ampliada ($A^*$) y el número de incógnitas.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus para identificar los valores de $m$ que anulan el determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ m+2 & 1 & -1 \\ 3 & m+2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \cdot 3 + 2(m+2)(m+2)] - [3 \cdot 1 \cdot 2 + (m+2)(-1) \cdot 1 + 1 \cdot (m+2) \cdot 1]$$ $$|A| = [1 - 3 + 2(m^2 + 4m + 4)] - [6 - (m+2) + (m+2)]$$ $$|A| = [-2 + 2m^2 + 8m + 8] - [6] = 2m^2 + 8m$$ Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos: $$2m^2 + 8m = 0 \implies 2m(m + 4) = 0$$ Esto nos da dos valores: **$m = 0$** y **$m = -4$**.

Si $m \neq 0$ y $m \neq -4$, entonces el determinante $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 0, -4 \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $m = 0$, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Se trata de un **sistema homogéneo**. Como $|A| = 0$, el $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ En los sistemas homogéneos, la columna de términos independientes es nula, por lo que el rango de la ampliada siempre coincide con el de coeficientes: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3 \text{ (nº incógnitas)}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 0 \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Si $m = -4$, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & -1 & -4 \\ 3 & -2 & 1 & -4 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $\text{rg}(A) = 2$ porque $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$. Estudiamos el rango de $A^*$ calculando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & -4 \\ 3 & -2 & -4 \end{vmatrix} = (-4 - 12 + 0) - (0 + 8 + 8) = -16 - 16 = -32 \neq 0$$ Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = -4 \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

**(b) [1 punto] Resuelve el sistema, si es posible, para $m = 0$.** Para $m = 0$, hemos visto que el sistema es un **Compatible Indeterminado** con $\text{rg}(A) = 2$. El sistema es: $$\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ 2x + y - z = 0 \\ 3x + 2y + z = 0 \end{cases}$$ La tercera ecuación es redundante (es la suma de las dos anteriores). Trabajamos con las dos primeras y pasamos $z$ al otro miembro como parámetro $z = \lambda$: $$\begin{cases} x + y = -2\lambda \\ 2x + y = \lambda \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar la $y$: $$(2x + y) - (x + y) = \lambda - (-2\lambda) \implies x = 3\lambda$$ Sustituimos $x = 3\lambda$ en la primera ecuación: $$3\lambda + y = -2\lambda \implies y = -5\lambda$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Solución: } (x, y, z) = (3\lambda, -5\lambda, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$