Cálculo de una primitiva con condición inicial

Para recuperar la función original $f(x)$ a partir de su derivada $f'(x)$, debemos calcular la integral indefinida de la función proporcionada: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} \, dx$$ Esta integral no es inmediata, por lo que utilizaremos el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula de integración por partes es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Elegimos las partes $u$ y $dv$ siguiendo la regla ALPES (donde las Logarítmicas suelen ser $u$ y las Potencias/Raíces forman parte de $dv$): * $u = \ln(x) \implies du = \dfrac{1}{x} \, dx$ * $dv = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \, dx = x^{-1/2} \, dx \implies v = \int x^{-1/2} \, dx = \dfrac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$ Aplicamos la fórmula: $$f(x) = \ln(x) \cdot (2\sqrt{x}) - \int 2\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \, dx$$ Simplificamos el integrando de la segunda parte: $$f(x) = 2\sqrt{x} \ln(x) - 2 \int \frac{\sqrt{x}}{x} \, dx$$ $$f(x) = 2\sqrt{x} \ln(x) - 2 \int x^{-1/2} \, dx$$ Resolvemos la integral restante: $$f(x) = 2\sqrt{x} \ln(x) - 2 (2\sqrt{x}) + C$$ $$f(x) = 2\sqrt{x} \ln(x) - 4\sqrt{x} + C$$ $$\boxed{f(x) = 2\sqrt{x} (\ln(x) - 2) + C}$$

Utilizamos el dato de que la gráfica pasa por el punto $(1, 0)$, lo que implica que $f(1) = 0$. Sustituimos $x = 1$ en la expresión hallada e igualamos a cero: $$f(1) = 2\sqrt{1} (\ln(1) - 2) + C = 0$$ Sabiendo que $\ln(1) = 0$ y $\sqrt{1} = 1$: $$2(1)(0 - 2) + C = 0$$ $$-4 + C = 0 \implies C = 4$$ 💡 **Tip:** El punto $(x_0, y_0)$ siempre nos permite fijar la constante $C$ tras realizar la integración indefinida.

Sustituimos el valor de $C = 4$ en la expresión general de la función: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = 2\sqrt{x} \ln(x) - 4\sqrt{x} + 4}$$ También se puede expresar de forma factorizada como: $$f(x) = 2\sqrt{x} (\ln(x) - 2) + 4$$