Optimización de un rectángulo inscrito en una parábola

Para resolver este problema de optimización, primero debemos entender la geometría de la situación. La función $f(x) = 6 - \frac{1}{6}x^2$ representa una parábola cóncava hacia abajo con vértice en $(0, 6)$. El rectángulo está inscrito entre la curva y el eje $X$ ($y=0$). Debido a que la función es par ($f(x) = f(-x)$), la gráfica es simétrica respecto al eje $Y$. Por tanto, el rectángulo también será simétrico respecto al eje $Y$. Definimos los vértices del rectángulo sobre el eje $X$ como $(-x, 0)$ y $(x, 0)$ para un valor $x \gt 0$. Los vértices correspondientes sobre la parábola serán $(x, f(x))$ y $(-x, f(x))$. Las dimensiones del rectángulo serán: - **Base:** La distancia entre $-x$ y $x$, es decir, $b = 2x$. - **Altura:** La ordenada del punto sobre la curva, es decir, $h = f(x) = 6 - \frac{1}{6}x^2$. 💡 **Tip:** En problemas de figuras inscritas en funciones simétricas, siempre es útil aprovechar dicha simetría para definir la base como $2x$ y facilitar los cálculos. $$\boxed{b = 2x, \quad h = 6 - \frac{1}{6}x^2}$$

El área del rectángulo es el producto de su base por su altura. Definimos la función área $A(x)$: $$A(x) = ext{base} \cdot ext{altura} = 2x \cdot \left( 6 - \frac{1}{6}x^2 \right)$$ $$A(x) = 12x - \frac{1}{3}x^3$$ Para determinar el dominio de $x$, buscamos los puntos de corte de la función con el eje $X$ ($y=0$): $$6 - \frac{1}{6}x^2 = 0 \implies x^2 = 36 \implies x = \pm 6$$ Como $x$ representa una distancia positiva a la derecha del eje $Y$ para formar el rectángulo, el dominio de nuestra función será $x \in (0, 6)$. $$\boxed{A(x) = 12x - \frac{1}{3}x^3, \quad 0 \lt x \lt 6}$$

Para hallar el área máxima, calculamos la primera derivada de $A(x)$ e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$A'(x) = 12 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 12 - x^2$$ Igualamos a cero: $$12 - x^2 = 0 \implies x^2 = 12 \implies x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$$ Como nuestro dominio es $x \in (0, 6)$, el único punto crítico válido es: $$x = 2\sqrt{3} \approx 3.46$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para optimizar una función debemos buscar los valores de la variable que anulan su derivada y luego comprobar si son máximos o mínimos.

Vamos a justificar que en $x = 2\sqrt{3}$ existe un máximo utilizando el estudio del signo de la primera derivada $A'(x) = 12 - x^2$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 2\sqrt{3}) & 2\sqrt{3} & (2\sqrt{3}, 6)\\ \hline A'(x) & + & 0 & -\\ \hline A(x) & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ - Para un valor en $(0, 2\sqrt{3})$, por ejemplo $x=1$: $A'(1) = 12 - 1 = 11 \gt 0$. - Para un valor en $(2\sqrt{3}, 6)$, por ejemplo $x=4$: $A'(4) = 12 - 16 = -4 \lt 0$. Al cambiar la función de creciente a decreciente en $x = 2\sqrt{3}$, confirmamos que se trata de un **máximo relativo**. También podríamos usar la segunda derivada: $$A''(x) = -2x \implies A''(2\sqrt{3}) = -4\sqrt{3} \lt 0$$ Como $A''(2\sqrt{3}) \lt 0$, se confirma que hay un máximo en ese punto. $$\boxed{x = 2\sqrt{3} \text{ es el valor que maximiza el área}}$$

Una vez hallado el valor de $x$ que maximiza el área, calculamos las dimensiones del rectángulo: **Base ($b$):** $$b = 2x = 2(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} \text{ unidades}$$ **Altura ($h$):** $$h = 6 - \frac{1}{6}x^2 = 6 - \frac{1}{6}(2\sqrt{3})^2$$ $$h = 6 - \frac{1}{6}(12) = 6 - 2 = 4 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado final:** Las dimensiones del rectángulo de área máxima son una base de **$4\sqrt{3}$** unidades y una altura de **$4$** unidades. $$\boxed{\text{Base: } 4\sqrt{3}, \quad \text{Altura: } 4}$$