Geometría en el espacio: Rectas y Planos

**(a) [0,75 puntos] Determina $a$ sabiendo que la recta que pasa por $A$ y por $B$ es paralela al plano $\pi$.** Para que una recta sea paralela a un plano, el vector director de la recta, $\vec{v}$, debe ser perpendicular al vector normal del plano, $\vec{n}$. Esto implica que su producto escalar debe ser cero: $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$. 1. Extraemos el vector normal del plano $\pi: x - y + z = 0$: $$\vec{n} = (1, -1, 1)$$ 2. Calculamos el vector director de la recta que pasa por $A(0, 3, -1)$ y $B(0, 1, a)$: $$\vec{v} = \vec{AB} = B - A = (0 - 0, 1 - 3, a - (-1)) = (0, -2, a + 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una recta es paralela a un plano si su dirección no tiene "componente" en la dirección normal del plano.

Aplicamos la condición de perpendicularidad entre $\vec{v}$ y $\vec{n}$ mediante el producto escalar: $$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0, -2, a + 1) \cdot (1, -1, 1) = 0$$ $$0(1) + (-2)(-1) + (a + 1)(1) = 0$$ $$0 + 2 + a + 1 = 0$$ $$a + 3 = 0 \Rightarrow a = -3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -3}$$

**(b) [0,75 puntos] Halla el punto de corte del plano $\pi$ con la recta que pasa por $A$ y es perpendicular a dicho plano.** 1. Definimos la recta $s$ que pasa por $A(0, 3, -1)$. Como es perpendicular al plano $\pi$, su vector director será el propio vector normal del plano: $$\vec{d}_s = \vec{n} = (1, -1, 1)$$ 2. Escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta $s$: $$\begin{cases} x = 0 + 1\lambda \\ y = 3 - 1\lambda \\ z = -1 + 1\lambda \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \lambda \\ y = 3 - \lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para hallar el punto de corte de una recta y un plano, lo más sencillo es sustituir las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación general del plano.

Sustituimos las coordenadas $(x, y, z)$ de la recta en la ecuación del plano $\pi: x - y + z = 0$: $$\lambda - (3 - \lambda) + (-1 + \lambda) = 0$$ $$\lambda - 3 + \lambda - 1 + \lambda = 0$$ $$3\lambda - 4 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{4}{3}$$ Ahora calculamos las coordenadas del punto de corte $P$ sustituyendo $\lambda$ en la recta: $$x = \frac{4}{3}$$ $$y = 3 - \frac{4}{3} = \frac{9-4}{3} = \frac{5}{3}$$ $$z = -1 + \frac{4}{3} = \frac{-3+4}{3} = \frac{1}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P\left(\frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)}$$

**(c) [1 punto] Para $a = 2$, halla el plano que contiene a los puntos $A$ y $B$ y es perpendicular al plano $\pi$.** Si el nuevo plano $\pi'$ contiene a $A(0, 3, -1)$ y $B(0, 1, 2)$, entonces el vector $\vec{AB}$ es un vector director de $\pi'$. Además, si $\pi'$ es perpendicular a $\pi$, el vector normal de $\pi$ será paralelo al plano $\pi'$. 1. Obtenemos los dos vectores directores de $\pi'$: - $\vec{u} = \vec{AB} = (0, -2, 2 - (-1)) = (0, -2, 3)$ - $\vec{v} = \vec{n}_{\pi} = (1, -1, 1)$ 2. El vector normal del nuevo plano $\vec{n}'$ se obtiene mediante el producto vectorial de sus vectores directores.

Calculamos $\vec{n}' = \vec{u} \times \vec{v}$ mediante el determinante resuelto por Sarrus: $$\vec{n}' = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}' = \mathbf{i}(-2)(1) + \mathbf{j}(3)(1) + \mathbf{k}(0)(-1) - [\mathbf{k}(-2)(1) + \mathbf{i}(3)(-1) + \mathbf{j}(0)(1)]$$ $$\vec{n}' = -2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 0\mathbf{k} - [-2\mathbf{k} - 3\mathbf{i} + 0\mathbf{j}]$$ $$\vec{n}' = -2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k} + 3\mathbf{i} = (1, 3, 2)$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano es siempre perpendicular a cualquier vector contenido en dicho plano.

Utilizamos el vector normal $\vec{n}' = (1, 3, 2)$ y el punto $A(0, 3, -1)$ para escribir la ecuación del plano: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ $$1(x - 0) + 3(y - 3) + 2(z - (-1)) = 0$$ $$x + 3y - 9 + 2z + 2 = 0$$ $$x + 3y + 2z - 7 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + 3y + 2z - 7 = 0}$$