Discusión y resolución de un sistema homogéneo con parámetros

**a) Encuentra los valores de $m$ para los que el sistema tiene infinitas soluciones.** Un sistema homogéneo siempre es compatible, ya que admite al menos la solución trivial $(0, 0, 0)$. Para que tenga infinitas soluciones (Sistema Compatible Indeterminado), el rango de la matriz de coeficientes debe ser menor que el número de incógnitas ($n=3$). Según el Teorema de Rouché-Frobenius, esto ocurre cuando el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero. La matriz de coeficientes $A$ es: $$ A = \begin{pmatrix} m & -1 & 13 \\ 2 & -m & 4 \\ 1 & 1 & 7 \end{pmatrix} $$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo $A \cdot X = 0$ tiene soluciones distintas de la trivial si y solo si $|A| = 0$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$ |A| = \begin{vmatrix} m & -1 & 13 \\ 2 & -m & 4 \\ 1 & 1 & 7 \end{vmatrix} $$ $$ |A| = [m \cdot (-m) \cdot 7] + [(-1) \cdot 4 \cdot 1] + [13 \cdot 2 \cdot 1] - [1 \cdot (-m) \cdot 13 + 1 \cdot 4 \cdot m + 7 \cdot 2 \cdot (-1)] $$ $$ |A| = [-7m^2 - 4 + 26] - [-13m + 4m - 14] $$ $$ |A| = -7m^2 + 22 - (-9m - 14) $$ $$ |A| = -7m^2 + 9m + 36 $$ 💡 **Tip:** Ten cuidado con los signos al aplicar Sarrus, especialmente con los productos de la diagonal secundaria.

Para que el sistema tenga infinitas soluciones, igualamos el determinante a cero: $$ -7m^2 + 9m + 36 = 0 $$ Multiplicamos por $-1$ para trabajar con el coeficiente principal positivo: $7m^2 - 9m - 36 = 0$. Aplicamos la fórmula general para ecuaciones de segundo grado $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $$ m = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-36)}}{2 \cdot 7} $$ $$ m = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 1008}}{14} = \frac{9 \pm \sqrt{1089}}{14} = \frac{9 \pm 33}{14} $$ Obtenemos dos valores posibles para $m$: 1. $m_1 = \frac{9 + 33}{14} = \frac{42}{14} = 3$ 2. $m_2 = \frac{9 - 33}{14} = -\frac{24}{14} = -\frac{12}{7}$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{m = 3 \text{ y } m = -\frac{12}{7}}$$

**b) Resuelve el sistema para $m = 3$. En este caso, ¿hay alguna solución en la que $x = 10$? Razona tu respuesta.** Sustituimos $m = 3$ en el sistema: $$ \begin{cases} 3x - y + 13z = 0 \\ 2x - 3y + 4z = 0 \\ x + y + 7z = 0 \end{cases} $$ Como sabemos que $|A|=0$ para $m=3$ y el menor $\begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = -21 - 4 = -25 \neq 0$, el rango de $A$ es 2. Podemos prescindir de una ecuación (por ejemplo, la primera) y resolver el sistema en función de un parámetro. Utilizamos las ecuaciones (2) y (3): 1. $2x - 3y + 4z = 0$ 2. $x + y + 7z = 0 \implies y = -x - 7z$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$ 2x - 3(-x - 7z) + 4z = 0 $$ $$ 2x + 3x + 21z + 4z = 0 \implies 5x + 25z = 0 \implies x = -5z $$ Ahora hallamos $y$: $$ y = -(-5z) - 7z = 5z - 7z = -2z $$ Si hacemos $z = \lambda$ con $\lambda \in \mathbb{R}$, la solución general es: $$\boxed{(x, y, z) = (-5\lambda, -2\lambda, \lambda)}$$

Para comprobar si existe una solución donde $x = 10$, utilizamos la expresión general obtenida en el paso anterior: $$ x = -5\lambda $$ Igualamos $x$ a $10$: $$ 10 = -5\lambda \implies \lambda = \frac{10}{-5} = -2 $$ Como hemos encontrado un valor real para el parámetro $\lambda$, existe tal solución. Calculamos el resto de variables para $\lambda = -2$: - $y = -2(-2) = 4$ - $z = -2$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\text{Sí, existe. La solución es } (10, 4, -2)}$$