Intersección de funciones trigonométricas y cálculo de áreas

**(a) [1 punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.** Para hallar los puntos de corte entre las funciones $f(x) = \text{sen}(x)$ y $g(x) = \text{sen}(2x)$ en el intervalo $[0, \pi]$, igualamos ambas expresiones: $$\text{sen}(2x) = \text{sen}(x)$$ Utilizamos la identidad trigonométrica del ángulo doble: $\text{sen}(2x) = 2\text{sen}(x)\cos(x)$: $$2\text{sen}(x)\cos(x) = \text{sen}(x)$$ $$2\text{sen}(x)\cos(x) - \text{sen}(x) = 0$$ $$\text{sen}(x)(2\cos(x) - 1) = 0$$ Esto nos da dos posibilidades: 1. $\text{sen}(x) = 0 \implies x = 0$ y $x = \pi$ (dentro del intervalo dado). 2. $2\cos(x) - 1 = 0 \implies \cos(x) = \dfrac{1}{2} \implies x = \dfrac{\pi}{3}$. Calculamos las ordenadas correspondientes: - Si $x=0 \implies f(0) = 0 \implies (0,0)$ - Si $x=\frac{\pi}{3} \implies f(\frac{\pi}{3}) = \text{sen}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies (\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ - Si $x=\pi \implies f(\pi) = 0 \implies (\pi,0)$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\text{sen}(2x) = 2\text{sen}(x)\cos(x)$. No dividas por $\text{sen}(x)$ directamente, ya que podrías perder soluciones si $\text{sen}(x) = 0$. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(0,0), \left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right), (\pi, 0)}$$

Para el esbozo, observamos que: - $f(x) = \text{sen}(x)$ es una semionda positiva en $[0, \pi]$ con máximo en $(\frac{\pi}{2}, 1)$. - $g(x) = \text{sen}(2x)$ completa un periodo en $[0, \pi]$, con un máximo en $(\frac{\pi}{4}, 1)$ y un mínimo en $(\frac{3\pi}{4}, -1)$. A continuación se muestra la representación gráfica de ambas funciones:

**(b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas y las rectas $x = 0$ y $x = \frac{\pi}{3}$.** El área viene dada por la integral definida del valor absoluto de la diferencia de las funciones en el intervalo $[0, \pi/3]$: $$A = \int_{0}^{\pi/3} |g(x) - f(x)| \, dx$$ Para determinar qué función está por encima, tomamos un valor intermedio, por ejemplo $x = \frac{\pi}{6}$: - $f(\frac{\pi}{6}) = \text{sen}(\frac{\pi}{6}) = 0,5$ - $g(\frac{\pi}{6}) = \text{sen}(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \text{sen}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$ Como $g(x) \ge f(x)$ en el intervalo $[0, \pi/3]$, el área es: $$A = \int_{0}^{\pi/3} (\text{sen}(2x) - \text{sen}(x)) \, dx$$ 💡 **Tip:** Para calcular el área entre dos curvas $y=f(x)$ e $y=g(x)$ entre $x=a$ y $x=b$, calculamos $\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$.

Calculamos la integral indefinida: $$\int (\text{sen}(2x) - \text{sen}(x)) \, dx = -\dfrac{1}{2}\cos(2x) + \cos(x)$$ Aplicamos la regla de Barrow en los límites $[0, \pi/3]$: $$A = \left[ -\dfrac{1}{2}\cos(2x) + \cos(x) \right]_{0}^{\pi/3}$$ Evaluamos en el límite superior $x = \frac{\pi}{3}$: $$F(\pi/3) = -\dfrac{1}{2}\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{2}\right) + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}$$ Evaluamos en el límite inferior $x = 0$: $$F(0) = -\dfrac{1}{2}\cos(0) + \cos(0) = -\dfrac{1}{2}(1) + 1 = \dfrac{1}{2}$$ Restamos ambos valores: $$A = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3-2}{4} = \dfrac{1}{4}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \dfrac{1}{4} \text{ u}^2}$$