Cálculo de parámetros en una función derivable a trozos

Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. En este caso, el punto de unión entre las dos ramas es $x=0$. La función es continua en $x=0$ si se cumple: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ Calculamos los límites laterales y el valor de la función: 1. **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** usamos la primera rama $$\lim_{x \to 0^-} (x^2 - ax + 2b) = 0^2 - a(0) + 2b = 2b$$ 2. **Valor de la función ($f(0)$):** coincide con el límite por la izquierda $$f(0) = 2b$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** usamos la segunda rama $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x+1)}{x} = \left[ \frac{\ln(1)}{0} \right] = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ 💡 **Tip:** Si al calcular un límite obtenemos la indeterminación $\frac{0}{0}$ y la función es derivable en el entorno, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**.

Aplicamos la regla de L'Hôpital para el límite por la derecha: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x+1)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{d}{dx}(\ln(x+1))}{\frac{d}{dx}(x)}$$ $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x+1}}{1} = \frac{1}{0+1} = 1$$ Igualamos los límites laterales para asegurar la continuidad: $$2b = 1 \implies \boxed{b = \frac{1}{2}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\ln(u)$ es $\frac{u'}{u}$. En este caso, $u=x+1$, por lo que $u'=1$.

Una vez asegurada la continuidad, para que $f(x)$ sea derivable en $x=0$, las **derivadas laterales** deben coincidir: $$f'(0^-) = f'(0^+)$$ Primero, hallamos la expresión de la función derivada $f'(x)$ para $x \neq 0$: - Para $x < 0$: $$f'(x) = 2x - a$$ - Para $x > 0$, usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$f'(x) = \frac{\frac{1}{x+1} \cdot x - \ln(x+1) \cdot 1}{x^2} = \frac{\frac{x}{x+1} - \ln(x+1)}{x^2}$$ Por tanto: $$f'(x) = \begin{cases} 2x - a & \text{si } x < 0 \\ \frac{\frac{x}{x+1} - \ln(x+1)}{x^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

Calculamos cada derivada lateral en $x=0$: 1. **Derivada por la izquierda:** $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (2x - a) = 2(0) - a = -a$$ 2. **Derivada por la derecha:** $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x}{x+1} - \ln(x+1)}{x^2} = \left[ \frac{0 - 0}{0} \right] = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Nuevamente aplicamos la **regla de L'Hôpital** para resolver la indeterminación en la derivada por la derecha: $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x+1} - \ln(x+1)\right)}{\frac{d}{dx}(x^2)}$$ $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} - \frac{1}{x+1}}{2x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{x+1}}{2x}$$ $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1 - (x+1)}{(x+1)^2}}{2x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x}{2x(x+1)^2}$$ Simplificando la $x$: $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{-1}{2(x+1)^2} = \frac{-1}{2(0+1)^2} = -\frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Es fundamental simplificar las expresiones algebraicas antes de evaluar el límite para evitar ciclos infinitos de L'Hôpital.

Igualamos las derivadas laterales que hemos obtenido: $$f'(0^-) = f'(0^+) \implies -a = -\frac{1}{2} \implies \boxed{a = \frac{1}{2}}$$ Los valores de los parámetros que hacen que la función sea derivable en todo $\mathbb{R}$ son: $$\boxed{a = \frac{1}{2}, \quad b = \frac{1}{2}}$$ Podemos visualizar la función resultante para comprobar que no hay picos en $x=0$.